数学建模考核试题
试题说明部分：
（1）在下面的问题中选择5题作答，写清题号及该题分值。 （2）请将试题的电子稿发送至tzl99@126.com。 电子邮件主题格式：学号+姓名+数学建模答卷。 例如：12345678 张三 数学建模答卷
（3）将打印稿交至5号楼（卫生所）202。截止日期：2010年6月10日。
（4）列出模型的关键假设；列清主要符号、变量及其含义；列清主要步骤及模型；尽可能使用计算机软件给出计算结果，包括计算结果的图形展示。
（5）友情提醒：鼓励相互讨论，但不允许抄袭他人结果，凡是雷同答卷均按无效处理。
试题部分
1、汽车刹车距离问题（15分）
附表的数据展示了一辆汽车的速率n(以5英里/小时的增量计)以及从刹车到停止的(滑行)距离an,例如,n?6(表示6×5=30英里/小时)时所需的停止距离为a6?47ft.
(a)计算并画出变化?an对n的图形,该图形能合理地近似表示一种线性关系么?
(b)根据你在(a)中的计算,对停止距离数据求一个差分方程模型,通
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过画出与n相对应的预测值的误差来测试你的模型,讨论模型的正确性.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 an 3 6 11 21 32 47 65 87 n 9 10 11 12 13 14 15 16 an 112 140 171 204 241 282 325 376 2、斑点猫头鹰与老鼠的食物链问题（20分）
假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵:老鼠.生态学家希望预测在一个野生鸟兽保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平.令Mn表示n年后老鼠的种群量,而On表示n年后猫头鹰的种群量,生态学家提出了下列模型:
Mn?1?1.2Mn?0.001OnMnOn?1?0.7On?0.002OnMn
生态学家想知道在栖息地里两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感.
(a)比较上面模型中系数的正负号和例3中模型系数的正负号.依次解释四个系数1.2,-0.001,0.7,0.002的正负号的意义. (b)对下表中的初始种群量进行检验并预测其长期行为:
情形1 情形2 情形3 情形4 猫头鹰O0 150 150 100 10 老鼠M0 200 300 200 20 2
(c) 用不同的系数来做实验.然后再用不同的起始值.什么是其长期行为?你的实验结果是否表明模型对(1)系数;(2)起始值是敏感的呢?
3、产品包装问题（20分）
市场上有多种品牌的易拉罐型饮料，它们的容积都是355ml，虽然品牌不同，但是外包装尺寸（易拉罐的高与底面直径的比值）却都是一样的，请提出合理的假设，利用数学模型，定量地解释这一现象。并对模型进行敏感度分析。
4、生产计划问题（20分）
工厂利用三种原料甲、乙、丙生产A、B、C、D、E五种产品，其有关数据如下表所示：
原料 可利用数（斤） 每万件产品所用材料数（斤） A B C D E 1 2 1 0 1 1 0 1 3 2 1 2 2 2 2 8 20 10 20 21 甲 10 乙 24 丙 21 每万件产品利润（万元） （1）试利用线性规划模型确定最优生产计划；
（2）对目标函数中产品A、D所对应的系数作灵敏度分析； （3）对约束条件中原料甲、乙所对应的可利用数作灵敏度分析； （4）若引进新产品F，已知生产一万件需利用原料甲、乙、丙分别为1斤、2斤和1斤，而每万件可获得利润10万元。问产品F是否有利于生产？它的利润为多少时才有利于生产？
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（5）如果又增加煤耗不超过20吨的限制，而生产每万件A、B、C、D、E产品分别用煤3吨、2吨、1吨、2吨、1吨，问是否需要改变原来的最优方案？
5、人口数量估计问题（15分）
下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据，利用这些数据给出1790年—2000年每隔5年的美国人口数据，并预测2005年、2010年人口数，与实际值比较。（人口单位：千人）
年份 人口 年份 人口 年份 人口 年份 人口 1790 3929 1850 23192 1910 91972 1970 203212 1800 5308 1860 31443 1920 105711 1980 226505 1810 7240 1870 38558 1930 122755 1990 248710 1820 9638 1880 50156 1940 131669 2000 281416 1830 12866 1890 62948 1950 150697 2005 ？ 1840 17069 1900 75995 1960 179323 2010 ？
6、山区地貌问题（20分）：
在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为 1200≤x≤4000,1200≤y≤3600)
试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
X Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 1200 1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480 1600 1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500 2000 1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550 2400 1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510 2800 1040 1300 900 1450 1600 1600 1430 3200 900 700 1100 1200 1550 1600 1300 3600 500 900 1060 1150 1380 1600 1200 4000 700 850 950 1010 1070 1550 980 4