概率、随机变量及其分布列
高考定位 1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.
真 题 感 悟
1.(2017·山东卷)从分别标有1，2，?，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) 5A.18 答案 C
2.(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) 1A.3 答案 B
3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________. 4.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 2 16 36 25 7 4 1
B.2
2C.3
3 D.4 4B.9
5C.9
7D.9 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. 1
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
考 点 整 合
1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式.
m事件A中所含的基本事件数P(A)＝n＝.
试验的基本事件总数(2)几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)＝.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）(3)条件概率.
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝
P（AB）
. P（A）
(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B). (5)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， P(A)＝1－P(A).
2.独立重复试验与二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发
kn－k生k次的概率为Pn(k)＝Ck，k＝0，1，2，?，n.用X表示事件A在nnp(1－p)
次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)
kn－k＝Ck. np(1－p)
3.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝
n?kCkMCN?M，k＝0，1，2，?，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，CnNN∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n. 4.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量ξ的分布列为
2
ξ P x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ? n pn 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0； ②p1＋p2＋?＋pi＋?＋pn＝1(i＝1，2，3，?，n).
(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋?＋xipi＋?＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值. D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋?＋(xi－E(ξ))2·pi＋?＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差. (3)数学期望、方差的性质.
①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ). ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). ③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
热点一 古典概型与几何概型
【例1】 (1)(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) 1A. 5
2B. 5
C.8 25
D.9 25
(2)(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________. 3答案 (1)B (2)4
探究提高 1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.
2.计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.
【训练1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) 1A.3
1B.2 2 C.3
3
5 D.6 (2)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________. 5答案 (1)C (2)9
热点二 互斥事件、相互独立事件的概率 命题角度1 互斥条件、条件概率
【例2－1】 (2016·全国Ⅱ卷选编)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
命题角度2 相互独立事件与独立重复试验的概率
【例2－2】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系1
统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为10和p.
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(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为50，求p的值；
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
探究提高 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
2.(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.
kn－k
(2)牢记公式Pn(k)＝Ck，k＝0，1，2，?，n，并深刻理解其含义. np(1－p)
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【训练2】 (2017·邯郸质检)2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中， (1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；
(2)用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ＝|X－Y|，求ξ的分布列. 热点三 随机变量的分布列、均值与方差 命题角度1 超几何分布
【例3－1】 (2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X). 探究提高 1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.
2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，
n?kCkMCN?M则其概率可直接利用公式P(X＝k)＝(k＝0，1，?，m，其中m＝min{M，
CnNn}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*). 命题角度2 与独立重复试验有关的分布列
【例3－2】 (2017·郴州二模)某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
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