既然选择了远方，就必须风雨兼程
即： （1+t）+1+t= （3+4+5） 解得：t= （5分） 而MN= NC= （1+t） ∴S△MNC=
（1+t）2= （1+t）2
当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠
×4×3
∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1） 则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t） 解得：t=
②当CM=CP时（如图2） 则有： （1+t）=4-t 解得：t=
③当PM=PC时（如图3） 则有：
在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= （1+t）
PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 ∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2 解得：t1=
，t2=-1（舍去）
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∴当t= ，t= 点评：
，t= 时，△PMC为等腰三角形
四、强化练习：
1．如图．在ABCD中，AB＝6、AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F, BG⊥AE，垂足为G，若BG＝42，则△CEF的面积是 A、22 B、2 C、32 D、42 答案：A
解析：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，
是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=CD=6， ∴CF=3； ∠BEA=∠DAF＝∠BAF，所以，BA＝BE，
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=42 可得：AG=2， 又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的面积等于82，
又∵?ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，面积1：4，∴△CEF的面积为,22．
2、在?ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）
的平分线
∴△ADF
A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180° C．AB=AD D．∠A≠∠C 考点：平行四边形的性质．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°． 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°． 故选B．
3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． AB∥DC，AD∥BC B． AB=DC，AD=BC
C． AO=CO，BO=DO D． AB∥DC，AD=BC
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考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据平行四边形判定定理进行判断．
解答： 解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四
边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意； 故选D．
点评： 本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 专题：计算题．
分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长． 解答：解：∵AE为∠ADB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴AD=FD，
又F为DC的中点， ∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，
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则AF=2AG=2， 在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF=EF，
则AE=2AF=4． 故选B
点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
五、训练辅导
☆专题4：中考真题
例7. 如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运动时间为t（单位：秒）． （1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
考点： 等腰梯形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；平行线分线段成比例． 专题： 压轴题；动点型；分类讨论．
分析： （1）可通过构建直角三角形来求解．过B作BG⊥OA于G，过Q作QH⊥OA于H．可根据勾股
定理，求出AB的值，用t表示出QP，让QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．
解答： 解：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，
则AB=
过Q作QH⊥OA于H，
=13．
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则QP=
要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB=QP， 即
．
．
∴t=，或t=5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）； ∴t=．
（2）当t=2时，OP=4，CQ=10﹣2=8，QB=2． ∵CB∥DE∥OF， ∴
∴AF=2QB=2×2=4． ∴OF=15+4=19．
∴S梯形OFBC=（10+19）×12=174．
（3）①当QP=PF时，则∴t=或t=
．
=，
，
=15+2t﹣2t，
．
②当QP=QF时，则即∴t=．
③当QF=PF时，则∴t=或t=﹣
，
=15，
综上，当t=，t=，t=，t=时，△PQF是等腰三角形．
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