应用题
[江苏卷5年考情分析]
“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近几年能力考查的重点．江苏卷一直在坚持以建模为主．所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键．
应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2014年应用考题(2)可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的；2015、2016年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数求解；2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解；2018年应用考题是三角模型，需利用三角函数和导数知识求解．
题型(一) 函数模型的构建及求解 [典例感悟]
[例1] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ [解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8. 因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
23V锥＝·A1B21·PO1＝×6×2＝24(m)；
主要考查以构建函数模型为背景的应用题，一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积最值问题中. 1
313
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m)．
3
1
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m， 则0＜h＜6，O1O＝4h.连结O1B1. 因为在Rt△PO1B1中，
22
O1B21＋PO1＝PB1，
所以?
2
?2a?22
?＋h＝36， ?2?
2
即a＝2(36－h)．
121322623
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a·4h＋a·h＝ah＝(36h－h)，0＜h＜6，
3332622
从而V′＝(36－3h)＝26(12－h)．
3令V′＝0，得h＝23或h＝－23(舍去)． 当0＜h＜23时，V′＞0，V是单调增函数； 当23＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数． 故当h＝23时，V取得极大值，也是最大值． 因此，当PO1＝23 m时，仓库的容积最大．
[方法技巧] 解函数应用题的四步骤
[演练冲关]
1．(2018·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－
3
，且投入的肥料费用不超过5百元．此x＋1
外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为
L(x)(单位：百元)．
2
(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意可得，L(x)＝16?4－(2)法一：L(x)＝64－＝43.
当且仅当
48
＝3(x＋1)，即x＝3时取等号． x＋1
??
3?48
－x－2x＝64－－3x(0≤x≤5)． ?x＋1?x＋1
48?48＋
－3x＝67－?x＋1?x＋1
x＋
?≤67－2
??
48x＋1
x＋
故L(x)max＝43.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元.
法二：由(1)可得L′(x)＝由L′(x)＝0，得x＝3.
故当x∈(0,3)时，L′(x)>0，L(x)在(0,3)上单调递增； 当x∈(3,5)时，L′(x)<0，L(x)在(3,5)上单调递减． 所以当x＝3时，L(x)取得极大值，也是最大值， 故L(x)max＝L(3)＝43.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元．
2.(2018·江苏六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，
2
48x＋
2
－3(0≤x≤5)，
C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：
方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆作为圆柱的两个底面；
方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．
(1)设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； (2)设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：(1)设所得圆柱的底面半径为r dm， 5
则(2πr＋2r)×4r＝100，解得r＝
π＋π＋
. (2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm，
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