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第一部分 分离变量法
一、(1) 求解特征值问题
(2) 验证函数系关于内积
正交，并求范数
二、用分离变量法求解定解问题
的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当值. 三、（方程非齐次的情形）求定解问题
时，求和时的
四、（边界非齐次的情形）求定解问题
五、（Possion方程）求定解问题
六、求定解问题：
注意：
1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：
.
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2) 3) 4)
2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；
3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace变换求解。
第二部分 积分变换法
一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题
2??2u2?u,???x??, t?0?2?a2?t?x?? ???x???ut?0???x?,??u????x?,???x???t??t?0(1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式
(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式
二、用积分变换法求解定解问题
??2u2??x?y?xy,x?1, y?0??3 x?1?uy?0?x,??ux?1?cosy,y?0??注意：只考应用Fourier变换和Laplace变换求解方程的问题
第三部分 特征线问题
一、判断方程
的类型.
二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中
(1) 若初始位移??x?和初始速度??x?为奇函数，则u?t,0??0 (2) 若初始位移??x?和初始速度??x?为偶函数，则ux?t,0??0 三、请用下列方法求解定解问题
.
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(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解
第四部分 Legendre多项式
一、将f?x??x在区间??1,1?内展成勒让德多项式的级数
2二、在半径为1的球内求调和函数，使
ur?1?3cos2??1
（提示：边界条件仅与?有关，解也同样）
第五部分 Green函数
???x?（弱）20、证明：??x??lim，其中 ??0?1?,???x???2??0,?x??x??
21、证明：Nlim???22、证明：当
sinNx???x?（弱） Nx时，弱收敛于
23、求??x????0?????在?0,??上的余弦级数，并证明该级数若收敛于??x??? 24、求??x????0?????在?0,??上的正弦级数，并证明该级数若收敛于??x???
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