第3节 导数与函数的极值、最值
考试要求 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
知 识 梳 理
1.函数的极值与导数 (1)判断f(0)是极值的方法
一般地，当函数f()在点0处连续且f′(0)＝0，
①如果在0附近的左侧f′()＞0，右侧f′()＜0，那么f(0)是极大值； ②如果在0附近的左侧f′()≤0，右侧f′()≥0，那么f(0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′()；
②求方程f′()＝0的根；
③检查f′()在方程f′()＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f()在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f()在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数
(1)函数f()在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f()的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f()在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f()在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f()在(a，b)内的极值；
②将f()的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [常用结论与易错提醒]
1.若函数f()的图象连续不断，则f()在[a，b]内一定有最值.
2.若函数f()在[a，b]内是单调函数，则f()一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f()在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.
5.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大.( )
(3)对可导函数f()，f′(0)＝0是0为极值点的充要条件.( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )
解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一；(3)0为f()的极值点的充要条件是f′(0)＝0，且0两侧导数符号异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.(选修2－2P32A4改编)如图是f()的导函数f′()的图象，则f()的极小值点的个数为( )
A.1 C.3
B.2 D.4
解析 由题意知在＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 A
3.函数f()＝－3＋3＋1有( ) A.极小值－1，极大值1 C.极小值－2，极大值2
B.极小值－2，极大值3 D.极小值－1，极大值3
解析 因为f()＝－3＋3＋1，故有y′＝－32＋3，令y′＝－32＋3＝0，解得＝±1， 于是，当变化时，f′()，f()的变化情况如下表：
f′() f() (－∞，－1) － －1 0 极小值 (－1，1) ＋ 1 0 极大值 (1，＋∞) － 所以f()的极小值为f(－1)＝－1，f()的极大值为f(1)＝3. 答案 D
4.函数f()＝ln －a在＝1处有极值，则常数a＝________.
1
解析 ∵f′()＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.
x答案 1
3
5.已知函数f()＝2＋(a＋4)－2ln 在区间(1，2)上存在最值，则实数a的取值范围是________.
223x2＋（a＋4）x－2
解析 ∵f′()＝3＋(a＋4)－＝，故可将题意等价的转化为f′(1)·f′
xx(2)<0，即(a＋5)(a＋9)<0，解得－9 6.已知y＝f()在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1，且f′()＝ln ＋1，则函数f()＝________，函数f()的最小值为________. ?1?解析 由f′()＝ln ＋1得f()＝ln ＋c，又f(1)＝0，则c＝0，所以f()＝ln .又∈?0，?时， ?e? f′()<0，f()单调递减，∈?，＋∞?时，f′()>0，f()单调递增，则f()min＝f??＝－. ee1 答案 ln － e 考点一 用导数解决函数的极值问题 【例1】 求下列函数的极值： (1)f()＝2－2－4ln ； 3 (2)f()＝a－3＋1－(a∈R且a≠0). 3 2 ?1? ?? ?1??? 1e a解 (1)f()的定义域为(0，＋∞)， f′()＝2－2－＝x42（x－2）（x＋1） ， x令f′()＝0得＝2或－1(舍). 随着的变化，f′()与f()的变化情况如下表： f′() f() (0，2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ ∴f()有极小值f(2)＝－4ln 2，无极大值. ?2? (2)由题设知a≠0，f′()＝3a－6＝3a?x－?. ?a? 2 2 令f′()＝0得＝0或. a当a>0时，随着的变化，f′()与f()的变化情况如下表： f′() f() (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 ?2??0，a? ??－ 2a ?2??a，＋∞? ??＋ 0 极小值 3∴f()极大值＝f(0)＝1－， a43?2? f()极小值＝f??＝－2－＋1. aa?a? 当a<0时，随着的变化，f′()与f()的变化情况如下表： f′() f() 2???－∞，a? ??－ 2a ?2??a，0? ??＋ 0 0 极大值 (0，＋∞) － 0 极小值 3∴f()极大值＝f(0)＝1－， af()极小值＝f??＝－2－＋1. aa?a? 3 综上，f()极大值＝f(0)＝1－， ?2? 43 a43?2? f()极小值＝f??＝－2－＋1. aa?a? 规律方法 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f()极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f′()；③解方程f′()＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′()在f′()＝0的根0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f()在0处取极大值，如果左负右正，那么f()在0处取极小值. (2)由函数极值求参数的值或范围. 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′()＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号. 【训练1】 (2018·北京卷)设函数f()＝[a2－(4a＋1)＋4a＋3]e. (1)若曲线y＝f()在点(1，f(1))处的切线与轴平行，求a； (2)若f()在＝2处取得极小值，求a的取值范围. 解 (1)因为f()＝[a2－(4a＋1)＋4a＋3]e， 所以f′()＝[a2－(2a＋1)＋2]e. f′(1)＝(1－a)e. 由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此时f(1)＝3e≠0. 所以a的值为1. (2)由(1)得f′()＝[a2－(2a＋1)＋2]e＝(a－1)(－2)e. 1?1? 若a>，则当∈?，2?时，f′()<0； 2?a?当∈(2，＋∞)时，f′()>0. 所以f()在＝2处取得极小值. 11 若a≤，则当∈(0，2)时，－2<0，a－1≤－1<0， 22所以f′()>0. 所以2不是f()的极小值点. ?1?综上可知，a的取值范围是?，＋∞?. ?2? 考点二 用导数解决函数的最值问题 【例2】 (2019·嵊州适考)已知函数f()＝(1)求函数f()的导函数f′()； (2)求f()在(0，1]上的取值范围. 解 (1)因为(2x＋1)′＝ 1 ，(ln )′＝， x2x＋11 x＋xln x－1 2x＋1 .