应用计算机数学试题A（软件学院DIT）
（本考卷满分70分，每题5分）
1.设S??1，，23，4?，并设A?S?S，在A上定义关系R为：
(c,d)??R?(a,b)，?a?b?c?d，
证明：（1）R是等价关系；（2）计算等价类。
证： (1) (2)
???a,b??A，a+b=a+b
显示成立，故((a,b)(a,b))?R，即R自反；
???a,b?,?c,d??A，若((a,b)，(c,d)) R?a?b?c?d?c?d?a?b
??c,d?,?a,b???R，即R对称的。
??a,b?,?c,d?,?e,f(3)
??A，若((a,b)，(c,d))
且
?R且
??c,d?,?e,f???R?a?b?c?dc?d?e?f?a?b?e?f???a,b?,?e,f???R，即R是传递的。由(1)、(2)、(3)
可知，R是A上的传递关系。
2.设A?{1,2,3}，R是A的幂集2???,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}?上的二元关系且R={(a，b)︱a∩b≠￠}，则R不满足下列哪些性质？为什么？
(1)自反性；(2)反自反性；(3)对称性；(4)反对称性；(5)传递性。
A答：R不满足：自反性，反自反性，反对称性，传递性。
R满足：对称性
?1?1?13.设f：X?Y，C，D?Y， 证明：f（C?D）?f（C）?f（D）
证：
f?1?C?D??=??=
ff?1f?1[?C\\D???D\\C?]?f?1?1?C\\D??f?1?D\\C?
?C?\\f??D????f??1?D?\\f?1 ?C????1?C??f?1?D?
4.设f：X?Y，g：Y?Z，证明：
（1）若f与g都是可逆的，则g?f也是可逆的; （2）求g?f的逆。
证：(1)
f,g可逆，故
f,g都是一一对应，于是gof也是一一对应，从而gof也是可逆的。
(2)gofo?f?1og?1??g?fof?g?1?1?gog?1?Iz
?f?1og?1?o?gof???f?1f?1o?g?1og?of?IX
故?gof??1og?1。
5（1）叙述关系的传递闭包的定义；（2）并给出如下关系的传递闭包。
设X??a，b，c，d?，R?（?a，b），（b，c），（c，a）?。
答：(1)设R是X上的二元关系，所有包含R且具有传递关系的交称为关系的传递闭包。
(2)
R+
=??a,b?,?b,a??b,c??c,b??c,a??a,c??a,a?,?b,b??c,c??d,d??
6.若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的图，则G连通的?G+uv是连通的。
证：?显示成立
?假设G不连通，则G有K个分支：G1,G2,???,Gk，由题意u与v不在一个
分支上，于是含有u?或v?的顶点的分支只有一个奇度数顶点与握手定理的推论矛盾。于是，G连通的。
7.证明:完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条哈密顿回路和一条哈密顿路。
证：在k9中，?v?V,degv中所有边后，?v?V，degv掉C2后，?v?V,degv?4?8?p2,p2,故必有一条哈密顿回路C1；k9去掉C1
?6?故也必有一条哈密顿回路C2；在k9\\C1中去
，于是对任一对不相邻顶点u和v，
L。而C1，C2，L彼此无公共
degu?degv?8?p?1，故此时必有一条哈密顿路
边。
8.设T是一个有p个顶点的正则二元树，求T的叶子数，其中p奇数。
解：设T有n个叶子，故有?p证：对顶点p进行归纳。
?n??2?p?1,即n?p?12
9.设G是一个没有三角形的平面图。证明：G是4—可着色的。
当p=1,2,3,4时显示成立。
假设当p=k时，G是4-可着色的。
当p=k+1时，由于G是一个没有三角形的平面图，故?v?V，使得degv于是G\\?v??G1，便是一个具有
?3，
k个顶点的没有三角形的平面图，从而G1是4-
可着色的。由于degv的一个4-可着色。
?3，故在G中用不与v相邻接的其它颜色给v着色便得G
10.是否存在每个顶点的度数≥3且只有7条边的简单平面连通图？请证明。
证：假设存在这样的简单平面图，则由p?q?f?2，有
p?f?2?q?9?????1?
而由?v?Vdegv?2q,3p?2q,p?f?423q?143；由nf?2q,3f?2q,f?23q?143；p,f为
整数，故p,，于是p?f?8与(1)矛盾。
11.叙述并证明平面连通图的欧拉公式。
欧拉公式：若有p个顶点q条边的平面连通图G有f个面，则p?q?f?2。
证：对面f的个数进行归纳：当f=1时，G没有内部面，所以G中没有圈，故G是树。因此p?q?1，故p?q?f?2成立。
假设对一切有不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式成立，往证若G是一个有f个面的?p,q?连通图时欧拉公式也成立，其中
f?2。因为
f?2，所以G至少有
一个内部面，从而G中有圈，它围成一个内部面。从G中到掉这个圈中任一条边x，则G?x就是一个?p,q?1?平面连通图且有
f?1个面。于是
p??q?1???f?1??2,即p?q?f?2，因此在G中欧拉公式成立。
12.证明:4阶群（G,*）或者是4阶循环群C4,或者是klein四元群K4。
证：设G是一个4阶群，则G中元素的阶可知是1，2和4。 若G中包含阶为4的元a，则G?(a)??e,a,a,a23?，即G是4阶循环群
C4；若G中没有阶为4的元，则除单位元e外，其它元素的阶均为2，
即
G??e,a,b,c??1且
a2?b2?c?12?e?1，于是，
?(y?x)?1?x,y?G,x2?y2?e，即
x?x,y?y?1。因为x?y?x?y?y?x，所以G是可交换群，
故G是Klein四元群的K4。
13.对于12阶循环群G=(a),则
(1)G有多少个子群?分别写出来。
(2)全部生成元是什么?
解：（1）6个子群
G1??e?;G2??e,g2466?;G83??e,g,g48?;G14??e,g,g,g36119?;
G5??e,g,g,g,g,g10?;G6??e,g,g,?,g2?
（2）生成元为有4个
g?g;g2?g5;g3?g7;g4?g11
14.设G是群,对于元素a?G有一个有限阶r,k是一个整数,则
(1)a?e?k为r的倍数.
(2) r小于或等于群G中元素个数,即r?G。
k证：(1)
ak?若k是r的倍数，则?m，使得km?rm，于是
于是有：
?akrm??amr?tr?m?er?et，?若akmtt?e，则?m,t，使得kt?mr?t?0?t?r??ee?a?a??a?ma?ea?ea?a，因为0?t?r，r是满足ar的最小正
整数，所以t?0。因此k?mr，即k是r的倍数。
?aj(2)考察e,a,???,ar?1这r个元素，它们两两不相同。否则，设ai0?i?j?r?1，两边同乘a?i，
，则有aj?i?ai?i?e。由于0?j?i?r，这与a的阶
为r矛盾，又因为e,a,???,ar?1是G中的r个不同的元素，所以G中至少有r个元，即r
?G。