实验八 连续系统复频域分析
1实验目的
(1) 掌握拉普拉斯变换的物理意义及应用。
(2) 掌握用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。 (3) 理解拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系。
(4) 掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。
(5) 拉普拉斯逆变换的MATLAB计算。
2 实验原理及方法
2.1连续时间LTI系统的复频域描述
拉普拉斯变换主要用于连续时间LTI系统分析。描述系统的另一种数学模型是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数”—H(s)：
H(s)?Y(s)?系统冲击响应的拉氏变换L?y(t)? 8-1 X(s)?系统激励信号的拉氏变换L?x(t)?系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。因此，系统函数可以
定义为：
? H(s)????sth(t)edt 8-2 ?系统函数H(s)的一些特点是和系统时域响应h(t)的特点相对应。求H(s)的方法，除了按
照定义之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经拉氏变换后得到H(s)。
假设描述一个连续LTI系统的线性常系数微分方程为：
dky(t)Mdkx(t) 8-3 ak??bk?kkdtdtk?0k?0N对式8-3两边做拉普拉斯变换，则有 即：
H(s)?Y(s)?kasY(s)?bs?k?kX(s)
kk?0k?0NM?bskMkX(s)?askk?0k?0N 8-4
k式8-4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI系统，它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。根据这一特点，可以很容易根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统微分方程。
系统函数H(s)大多数情况下是复变函数，因此，H(s)可以有多种表示形式： (1) 直角坐标形式： H(s)?Re(s)?jIm(s)
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(2) 零极点形式： H(s)?k?(s?zj)j?1M?(s?p)ii?1N
(3) 部分分式和形式： H(s)?Ak ?k?0s?skN(假设系统的N>M，且无重极点)
根据所要分析的问题的不同，可以采用不同形式的系统函数H(s)表达式。
在MATLAB中，表达系统函数H(s)的方法是给出系统函数的分子多项式和分母多项式的系数向量。由于系统函数的分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的，因此，用MATLAB表示系统函数，就是用系统函数的两个系数向量来表示。
应用拉普拉斯变换分析系统的主要内容有： (1) 分析系统的稳定性。 (2) 分析系统的频率响应。
分析方法主要是通过绘制出系统函数的零极点分布图，根据零极点分布情况，判断系统的稳定性与滤波特性。
2.2用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图
拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段，对于当t??时信号幅度不衰减或增长的时间信号，其傅里叶变换不存在，但可以用拉普拉斯变换来分析它们。
连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为：
F(s)??f(t)e?stdt 8-5
??? 其中s???j?，若以?为横坐标（实轴），j?为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一个复平面，称为s平面。
显然，F(s)是复变量s的复函数，为了便于理解和分析F(s)随s的变化规律，可以将F(s)写成：
F(s)?F(s)ej?(s)
其中F(s)为复信号F(s)的模，?(s)为F(s)的相角。
从三维几何空间的角度来看，F(s)和?(s)对应复平面上的两个曲面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换F(s)随复变量s的变化。 上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能来实现。以单位阶跃信号u(t)为例来说明实现过程。
对单位阶跃信号f (t)=u(t)，其拉普拉斯变换为F(s)?1s。
首先，用两个向量来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：
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xl =-0.2:0.03:0.2; yl =-0.2:0.03:0.2;
然后再调用前面介绍过的meshgrid()函数来产生矩阵s，用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：
[x,y]=meshgrid(xl,yl); s=x+i*y;
上述命令产生的矩阵s包含了复平面?0.2???0.2、?0.2?j??0.2范围内以间隔0.03取样的所有样点。
最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh绘出其曲面图，对应命令为：
fs=abs(1./s); %计算拉氏变换在复平面上的样点值 mesh(x,y,fs) %绘制拉氏变换曲面图 axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0,60])
执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图8-1所示。
图8-1 阶跃信号拉氏变换曲面图
2.3拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系
根据所学知识可知，拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系可表述为：傅里叶变换是信号在虚轴上的拉普拉斯变换，也可用下面的数学表达式表示 F(j?)?F(s)s?j? 8-6
上式表明，给定一个信号f(t)，如果它的拉普拉斯变换存在的话，傅里叶变换不一定存在，只有当它的拉普拉斯变换的收敛域包括了整个虚轴，则表明其傅里叶变换是存在的。
也即在信号拉普拉斯变换F(s)中令??0，就可得到信号的傅里叶变换。从三维几何空间角度来看，信号f(t)的傅里叶变换F(jw)就是其拉普拉斯曲面图中虚轴(??0)所对应的曲线。可以通过将F(s)曲面图在虚轴上进行剖面来直观地观察信号拉普拉斯变换与傅里叶变换的对应关系。
例8-1：绘制信号f(t)=u(t)-u(t-2)的拉普拉斯变换的曲面图，观察曲面图在虚轴剖面上的曲线，并将其与信号傅里叶变换F(jw)绘制的幅度谱进行比较。
解：根据拉普拉斯变换和傅里叶变换的定义和性质，可求得该信号的拉普拉斯变换和傅里叶变换如下：
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