sinx)dx的收敛性。 ?1x13?解 根据不等式|sinu?u|?|u|,|u|?，
62sinxsinx1sinx311得到 |sin(， x?[1,??)； )?|?||?3xx6x6x??sinxsinx 从而 ?(sin()?)dx绝对收敛，因而收敛，
1xx??sinx再根据?dx是条件收敛的，
1xsinxsinxsinxsinx由sin(， )?(sin()?)?xxxx??sinx可知积分?sin()dx收敛，且易知是是条件收敛的。
1x判断无穷积分
??sin(x2xn?...?，xm是P2m?1(x)?0的实根， 例5.3.39 设Pn(x)?1?x?2!n!求证：xm?0，且limxm???。
m???*证明 （1）任意m?N，当x?0时，有P2m?1(x)?0；
当x?0且x充分大时，有P2m?1(x)?0，所以P2m?1(x)?0的根xm存在，
?又P2m?1(x)严格递增，所以根唯一，xm?0。 2m?1(x)?P2m(x)?0，Px（2） 任意x?(??,0)，limPn(x)?e?0，所以P2m?1(x)的根xm???，（m??）。
n???因为若m??时，P2m?1(x)?0的根，xm不趋向于??。
则存在M?0，使得(?M,0)中含有{xm}的一个无穷子列，从而存在收敛子列xmk?x0，（x0为某有限数x0??M）；
0?e?M?limP2mk?1(?M)?limP2mk?1(xmk)?0，矛盾。
k???k????(?1)n)，讨论级数?an的收敛性。 例、 设an?ln(1?npn?2解 显然当p?0时，级数
?an?2?n发散；
由 limx?0x?ln(1?x)?lim2x?0x1?11?x?lim11 ?1，
x?021?x22x得
12x?x?ln(1?x)?x2，（x充分小）， 4编辑版word
11(?1)n1??a?于是，（n充分大） n2pp2p4nnn?1(?1)n（1） 当p?1时，?2p，?收敛， pnn?2nn?2??n?2??(?1)n(?1)n1收敛，， ?aa?a??nnnnpnpnp收敛，
?an?2n?an?2?n绝对收敛；
??(?1)n11（2） 当?p?1时，?2p收敛，?收敛， pnn2n?2n?2于是
?n?2???(?1)n(?1)n?an收敛，从而?(p?an)收敛，?an收敛， pnnn?2n?2??11(?1)n(?1)n而?p发散，由p? ?an?an，得?(p?an?|an|)发散，所以?an发散，pnnnnn?2n?2n?2??故此时
?an?2n条件收敛。
???(?1)n(?1)n1（3） 当0?p?时，?(p?an)发散，而?收敛，此时?an发散。 pn2n?2n?2nn?2
北京大学2007年数学分析考研试题及解答
1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。
命题：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，那么必然存在一点??(a,b)， 满足f(?)?0。
采用反正法，若对于任意点x?(a,b)，有f(x)?0，那么显然对于任意x?[a,b]，仍然有f(x)?0。
由于f的连续性，我们对于任意一点x?[a,b]，可以找到一个邻域O?x(x)，使得f(x)在
O?x(x)?[a,b]中保号，那么[a,b]区间被以上形式的O?x(x)，x?[a,b]开区间族所覆盖，
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由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间O?x(x1),O?x(x2),...,O?x(xn)就能覆盖闭区间
12n[a,b]，再由覆盖定理的加强形式可得，存在??0，满足当y1,y2?[a,b]，y1?y2??时，
存在O?x(x1),O?x(x2),...,O?x(xn)中的某个开集同时覆盖y1,y2。那么我们就证明了当
12ny1?y2??时，有f(y1),f(y2)同号；
现取正整数m，满足
b?a(b?a)i，i?0,1,...,m，那么我们有??，令zi?a?mmzi?1?zi??，f(zi)与f(zi?1)同号，从而证明了f(z0)与f(zm)同号，即f(a)与f(b)同
号，这与题目中的f(a)f(b)?0矛盾，证明完毕。
2、 设f(x),g(x)在有限区间(a,b)内一致连续，证明：f(x)g(x)也在(a,b)内一致连续。
证明 首先证明f(x),g(x)都在(a,b)上有界，因为f(x)在有限区间(a,b)内一致连续，从而存在?1?0，满足当此x1,x2?(a,b)，x1?x2??1时，有 f(x1)?f(x2)?1， 现取正整数m，满足
b?a(b?a)i，i?1,2,...,m?1； ??1，令zi?a?mm对任意x?(a,b)，存在zj，使得 x?zj?b?a??1， mf(x)?f(x)?f(zj)?f(zj)
?1?f(zj) ?1?maxf(zi)，
1?i?m?1即得f(x)在(a,b)上是有界的； 同理g(x)在(a,b)上也是有界的；
下面证明，若f(x),g(x)在区间I上有界，且都一致连续，则f(x)g(x)在区间I上一致连续。
设M?0，满足f(x)?M,g(x)?M，x?I; 那么由f(x),g(x)得一致连续性得到，
对于任意??0，存在??0，使得当x,y?I，x?y??时，有
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