2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

6.答案:

5 143解:注意K中共有9个点,故在K中随机取出三个点的方式数为C9?84种,

当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如下三种情况: (1)三点在一横线或一纵线上,有6种情况,

(2)三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点,有4?4?16种情况,

(3)三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于(0,0)的有4个,直角顶点位于(?1,0),(0,?1)的各有一个,共有8种情况.

综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6?16?8?30,进而所求概率为

305?. 84147.答案:

1?17 2x2y2?1,显然必须?a?0,故二次曲线为双曲线,其标准方程为解:二次曲线方程可写成?2?aay2x222222c?(?a)?(?a)?a?aa?a?4,又a?0,,则,注意到焦距,可知2c?4??122(?a)(?a)所以a?1?17. 28.答案:574 解:由条件知c?[2017]?2,当c?1时,有10?b?20,对于每个这样的正整数b,由10b?a?201知,1000相应的a的个数为202?10b,从而这样的正整数组的个数为

b?10?(202?10b)?20(102?2)?11?572,

2当c?2时,由20?b?[20172017],知,b?20,进而200?a?[]?201, 10010故a?200,201,此时共有2组(a,b,c).

综上所述,满足条件的正整数组的个数为572?2?574.

9.解:设t?2,则t?[2,4],于是|t?a|?|5?t|对所有t?[2,4]成立,由于

x|t?a|?|5?t|?(t?a)2?(5?t)2,?(2t?a?5)(5?a)?0,

对给定实数a,设f(t)?(2t?a?5)(5?a),则f(t)是关于t的一次函数或常值函数,注意t?[2,4],因

此f(t)?0等价于??f(2)?(?1?a)(5?a)?0,解得3?a?5

f(4)?(3?a)(5?a)?0?所以实数a的取值范围是3?a?5.

2210.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则bn?1?bn?(an?2an?3?an?1)?(an?1an?2?an)

?an?2(an?3?an?1)?(an?1?an)(an?1?an)?an?2g2d?(an?1?an)gd?(2an?2?an?1?an)gd?3d2

所以数列{bn}也是等差数列.

(2)由已知条件及(1)的结果知:3d?d,因为d?0,故d?22bn?an?1an?2?an?(an?d)(an?2d)?an

21,这样32?3dan?2d2?an?

9若正整数s,t满足as?bt?Z,则as?bt?as?bt?22?a1?(s?1)d?a1?(t?1)d? 99s?t?22??Z. 39s?t?22记l?2a1??,则l?Z,且18a1?3(3l?s?t?1)?1是一个非零的整数,故|18a1|?1,从而

391|a1|?.

181117又当a1?时,有a1?b3???1?Z,

1818181综上所述,|a1|的最小值为.

18?2a1?2211.解:设P(t,2t),则直线l的方程为y?x?2t?t,代入曲线C2的方程得,(x?4)?(x?2t?t)?8,

222化简可得:2x?2(t?2t?4)x?(t?2t)?8?0①,

由于l与C2交于两个不同的点,故关于x的方程①的判别式?为正,计算得,

2222??(t2?2t?4)2?2((t2?2t)2?8)?(t2?2t)2?8(t2?2t)?16?2(t2?2t)2?16 4??(t2?2t)2?8(t2?2t)??(t2?2t)(t2?2t?8)??t(t?2)(t?2)(t?4),

因此有t?(?2,0)U(2,4),②

2设Q,R的横坐标分别为x1,x2,由①知,x1?x2?t?2t?4,x1x2?12((t?2t)2?8), 2因此,结合l的倾斜角为45可知,

o|PQ|g|PR|?2(x1?t2)g2(x2?t2)?2x1x2?2t2(x1?x2)?2t4

?(t2?2t)2?8?2t2(t2?2t?4)?2t4

?t4?4t3?4t2?8?2t4?4t3?8t2?2t4 ?t4?4t2?8 ?(t2?2)2?4,③

由②可知,t?2?(?2,2)U(2,14),故(t?2)?[0,4)U(4,196),从而由③得:

222|PQ|g|PR|?(t2?2)2?4?[4,8)U(8,200)

4?2t?t2|?22, 注1:利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径,列出不等式|2同样可以求得②中t的范围.

注2:更简便的计算|PQ|g|PR|的方式是利用圆幂定理,事实上,C2的圆心为M(4,0),半径为r?22,|PR|?|PM|2?r2?(t2?4)2?(2t)2?(22)2?t4?4t2?8. 故|PQ|g

加试试卷答案

一、

证明:当d?1时,不等式显然成立

以下设0?d?1,不妨设a,b不异号,即ab?0,那么有

(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0

因此(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c2?1?c2?1?d2

二、

证明:取k?m?1,令Ai?{xx?i(modm?1),x?N?},i?1,2,L,m?1 设a,b,c,d?Ai,则ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1),

故m?1ab?cd,而m?1m,所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d,满足ab?cd?m

三、

证明:首先证明YX//BC,即证AXAYXC?YB 连接BD,CD,因为

S?ACQ?S?ABCSS?S?ACQ, ?ABC?ABPS?ABP1AC?CQsin?ACQ1AC?BCsin?ACB1AC?AQsin?CAQ所以21?2?2, ① 2AB?BCsin?ABC12AB?BPsin?ABP12AB?APsin?BAP由题设,BP,CQ是圆?的切线,所以?ACQ??ABC,?ACB??ABP,又?CAQ??DBC??DCB??BAP(注意D是弧BC的中点),于是由①知AB?AQCQAC?AP?BP因为?CAQ??BAP,所以?BAQ??CAP,

S1?ABQ2AB?AQsin?BAQ于是AB?AQS?? ③ ?ACP1AC?APsin?CAPAC?AP2S1?BCQ2BC?CQsin?BCQ而CQS? ④ ?BCP1?BC?BPsin?CBPBP2② 由②,③,④得

S?ABQS?ACP?S?CBQS?BCP,

S?ABQS?CBQS?ABQS?CBQ?S?ACP S?BCPAXS?ACPAY?, SYBXC?BCP又

?故

AXAY ?XCYBAXCMBY???1, XCMBYA设边BC的中点为M,因为

所以由塞瓦定理知,AM,BX,CY三线共点,交点即为T,故由YX//BC可得AT平分线段XY

四、

解:考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,L,a20,b1,b2,L,b20)

对k?1,2,L,5,设a1,L,a20中取值为k的数有tk个,根据X的定义,当ai?aj时,(i,j)?X,因此至少有

?Ck?12tk52tk个(i,j)不在X中,注意到

?tk?15k?20,则柯西不等式,我们有

555111512022C??(?tk??tk)??((?tk)??tk)??20?(?1)?30 ?2k?125k?125k?1k?1k?12从而X的元素个数不超过C20?30?190?30?160

5另一方面,取a4k?3?a4k?2?a4k?1?a4k?k(k?1,2,L,5),bi?6?ai(i?1,2,L,20), 则对任意i,j(1?i?j?20),有(ai?aj)(bi?bj)?(ai?aj)((6?ai)?(6?aj))??(ai?aj)?0

22等号成立当且仅当ai?aj,这恰好发生5C4?30次,此时X的元素个数达到C20?30?160

2综上所述,X的元素个数的最大值为160.

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