高考热点追踪(五)
1．(2019·苏州期末)双曲线x－＝1的渐近线方程为________．
4[解析] 令x－＝0，得y＝±2x，即为双曲线x－＝1的渐近线方程．
44[答案] y＝±2x
2
2
y2
y2
2
y2
x2y2
2．(2019·南京、盐城模拟)椭圆＋＝1的一条准线方程为y＝m，则m＝________．
4m[解析] 焦点在y轴上，[答案] 5
m＝m，m＝5． m－4
x2y2
3．(2019·太原调研)直线x－2y＋2＝0过椭圆2＋2＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭
ab圆的方程为________．
[解析] 直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2． 直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0，1)，即为椭圆的顶点，故b＝1． 故a＝b＋c＝5，椭圆方程为＋y＝1．
5[答案] ＋y＝1
5
2
2
2
x2
2
x2
2
x232
4．已知双曲线C：2－4y＝1(a＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：
a4y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
x22
[解析] 2－4y＝1的右顶点坐标为(a，0)，一条渐近线为x－2ay＝0．由点到直线的距
a3334x2
离公式得d＝＝，解得a＝或a＝－(舍去)，故双曲线的方程为－4y＝1． 2
42231＋4a因为c＝
31
＋＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p44|a|
2
＝2，x＝－1是抛物线的准线，因为点M到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，设抛物线的焦点为F，则d1＋1＝|MF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|MF|＋d2－1，焦点到直线l|1－0＋4|5525252
的距离d3＝＝＝，而|MF|＋d2≥d3＝，所以d1＋d2＝|MF|＋d2－1≥－222221．
- 1 -
52
[答案] －1
2
5．(2019·南京、盐城高三模拟)已知圆O：x＋y＝1，圆M：(x－a)＋(y－a＋4)＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．
[解析] 连结OA，OP，在直角三角形OAP中，OP＝2OA＝2．又OP∈[OM－1，OM＋1]，即
??2a－8a＋7≤0
1≤OM≤3，所以1≤a＋(a－4)≤9，化简得?2，
??2a－8a＋15≥0
2
2
22
2
2
2
解得2－
22
≤a≤2＋． 22
22
，2＋] 22
[答案] [2－
x2y2
6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线Γ：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为l1，l2，直
ab线l：＋＝1分别与l1，l2交于A，B，若线段AB中点横坐标为－c，则双曲线Γ的离心率为________．
xycbx2y2
[解析] 依题意l1，l2的方程为2－2＝0，
ab??联立?xy??c＋b＝1，
?ax2y2
－＝0，a2b2
?11?22
消去y得?2－2?x＋x－1＝0，
c?
cb222
即22x＋x－1＝0， acc2ac设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，
2
b2ac因为线段AB中点横坐标为－c，所以x1＋x2＝－2＝－2c，
2
b所以a＝b，故双曲线Γ的离心率为2． [答案] 2
7．(2019·南京四校第一学期联考)已知圆C：(x－1)＋(y＋2)＝4，若直线l：3x＋4y＋m＝0上存在点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则实数m的取值范围是________．
[解析] 圆C的圆心C(1，－2)，半径r＝2．连接PC，AC，则在Rt△PCA中，∠APC＝30°，
2
2
22
- 2 -
AC＝2，所以PC＝4，这样就转化为直线l上存在点P，且点P到圆心C的距离为4，也就是直
线l与以C为圆心，4为半径的圆有公共点，所以15≤m≤25，因此实数m的取值范围是[－15，25]．
[答案] [－15，25]
8．(2019·无锡市高三模拟)已知圆C：(x－2)＋y＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运→→
动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA·PB≤0，则线段EF长度的最大值是________．
→→
[解析] 由PA·PB≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，22
sin∠MPC＝≥sin 45°＝，所以PC≤22．另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋1垂
PC232
直时，PCmin＝，以C为圆心，CP＝22为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即
2为线段EF长度的最大值，所以EFmax＝2[答案] 14
31
9．(2019·苏州高三模拟)已知经过点P(1，)的两个圆C1，C2都与直线l1：y＝x，l2：y22＝2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于________．
31
[解析] 设圆C经过点P(1，)，且与直线l1：y＝x，l2：y＝2x均相切，圆心C(a，b)，
221
由题意可知点C在第一象限，且在直线y＝2x的下方，在直线y＝x的上方，点C到两直线
2|2a－b||2b－a|a2322
的距离相等，即＝，化简得a＝b>0，且()＝(a－1)＋(a－)，化简整理
2555得36a－100a＋65＝0(*)，设C1(a1，a1)，C2(a2，a2)，则a1，a2是(*)的两个不相等的实数根，25652
则a1＋a2＝，a1a2＝，则|C1C2|＝2|a1－a2|＝2（a1＋a2）－4a1a2＝2×
93645
． 9
45
[答案]
9
10．(2019·南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2px(p>0)的焦
2
2
2
2
|3×1＋4×（－2）＋m|
3＋4
2
2
≤4，解得－
（22）－（
2
322
）＝14． 2
62565－＝819
x2y2
点为F，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐
ab
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