第四章模糊控制基本原理
模糊控制是以模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑为基础的计算机智能控制。模糊控制从其诞生至今也不过30年的时间，1974年马达尼(Maindani)教授在他的博士论文中首次论述了如何将模糊逻辑应用于过程控制，从而开创了模糊控制的先河。在这之后的30年间的发展中，模糊控制在理论和应用研究方面均取得了重大的成功。
传统的控制方法在执行控制时，往往需要取得对象的数学模型，比如PID控制。但是一些学者发现人类在处理复杂对象的过程，并不是首先建立被控对象的数学模型，然后根据这一模型去精确地计算出系统所需要的控制量，而是完全在模糊概念的基础上利用模糊的量完成对系统的合理控制。人们正是因为从中得到了启示，最终导致了模糊控制的诞生。可以看到，经验和知识将扮演重要的角色，通过对经验和知识进行推理进而产生相应的控制策略。
模糊控制从1974年到现在，模糊控制的发展经历了两个阶段，即简单模糊控制阶段和自我完善模糊控制阶段。简单模糊控制阶段指在计算机系统上把控制器上的推理过程处理成控制表，这种模糊控制器结构简单但不灵活，自适应能力和鲁棒性有限，控制精度不高;自我完善模糊控制阶段指具有参数自调整、自组织和自学习功能的模糊控制器，这样使模糊控制系统的性能得到了很大的提高。
20世纪80年代末，日本首先将模糊控制技术应用于家用电器领域，之后相继推出了模糊洗衣机、电冰箱、空调器、电饭锅等，显示了模糊控制强大的生命力。最初的模糊电冰箱是在变频冰箱系统中得到尝试的，首先通过A/D采样读入冷藏室及冷冻室的温度值和温度变化的速度，并将其模糊化后，然后根据原先计算的模糊规则，调节压缩机的转速。
4.1清晰集合的基本知识
集合 指具有同一本质属性的全体事物的总和汇集成一个确定的整体
论域 由被考虑对象的所有元素的全体组成的基本集合称为论域，又称为全域或空间，用大写英文字母E表示。
4.1.1序偶
在人们所接触的许多事物中，往往可以发现它们是成对地出现的，而且具有一定的顺序。例如师，生；中央，地方；父，子和x,y等，通常把这样具有固定次序的客体构成一个“序偶”，它表达了两个客体间的关系，可以表示为<师，生>、
<中央、地方>、<父、子>和
此外，序偶
4.1.2笛卡尔积
设A、B是任意两个集合，如果序偶的第一元素取自集合A，而第二元素取自集合B，所有这样的序偶组成的集合被定义为集合A和B的笛卡尔乘积，记作A?B，因此，亦称为叉积或直积，即
A?B?{?x,y?|(x?A)?(y?B)}
4.1.3映射
设有两个非空集合A、B，若有一个法则f，使得对于集合A的每一个元素x，按照法则f在B中有一个确定的元素y与之对应，则称此定义在A上的法则f为集合A在B中取值的映射，表示为
f:A?B
称A为映射f的定义域，即f(A)?{f(x)|?x?A,f(x)?y,?y?B}称为f的值域，显然f(A)?B
4.1.4关系及其表示
关系的基本概念是表示集合中元素间的联系。前面叙述的序偶可以表达两个客体、三个客体或几个客体之间的联系，因此，序偶就可以表达关系这个概念。对于给定集合A?{x|?x?A}和B?{y|?y?B}，A?B的一个子集R，称为A到B的“二元关系”和简称“关系”。R中的元素(x,y),若(x,y)?R，则称x与y相关，记为xRy；否则(x,y)?R，记为xRy。
关系的表示方法 关系的表示除了可以用序偶集合的形式表示以外，对于二元关系R还可以用“关系矩阵”和“关系图”两种方法表示。主要介绍关系矩阵。 关系矩阵 设给定两个有限集A?{a1,a2,???,am}和B?{b1,b2,???,bn}，R为从A到
B的一个二元关系，则对应于关系R有一个关系矩阵RM?[ri,j]m?n，其中
??1当(ai,bj)?R(i?1,2,???,m)ri,j??
0当(a,b)?R(j?1,2,???,n)ij?4.2模糊集合的基本知识 4.2.1模糊概念与模糊集定义 4.2.1.1模糊概念
设论域E?{e1,e2,???,en}，将E的任一子集A用隶属度表示为
A:{(e1,?A(e1)),(e2,?A(e2)),???,(en,?A(en))}
对于清晰集合来讲，当?A(ei)?1时，ei?A，当?A(ei)?0时，ei?A。如果将
?A(ei)的取值范围不局限于0和1，而拓宽为取0和1之间任何数，如：
A':{(e1,0.15),(e2,0.8),(e3,1.0),(e4,0.3),(e5,0.0)}
~这样的话，集合A'与元素ei间的关系不单纯是属于和不属于两种情况，而是e1少
~量属于A'，而e4也少量属于A'，e2基本上属于A'，e3一定属于A'，e5不属于A'，
~~~~~但是比e1稍多。尽管用0.15，0.8，0.3等表示了相应元素对集合A'的隶属程度，
~但是在概念上是很模糊的，这些量化值也是一个模糊量（并不是精确的）。因此，这样一种集合A'就是一个模糊子集，其中0.15，0.8，0.3···分别为该集合中对
~应元素的隶属程度，它是一个模糊的量。
4.2.1.2模糊集定义
设论域E，E到闭区间[0,1]的任一映射?A
~?A：E?[0,1]
~e??A(e)
~它确定了E的一个模糊子集，简称模糊集（或F集），记为A。?A称为模糊集A~~~的隶属函数，?A(e)叫元素e隶属于A的程度，简称为隶属度。
~~由定义可知，论域E上的模糊子集A完全由隶属函数?A(e)来表征。e对模糊子
~~集A的隶属程度由?A(e)在闭区间[0,1]的取值大小来反映。?A(e)的值越接近于
~~~1，表示e从属于A的程度越大；反之，?A(e)的值越接近于0，则表示e从属于A~~~的程度越小。显然，当?A(e)的值域为{0,1}时，隶属函数?A已蜕变成一个清晰
~~集合的特征函数；模糊集合A也就蜕变成为一个清晰集合。因此，可以这样概括
~清晰集合和模糊集合间的互变关系，即模糊集合是清晰集合在概念上的拓广；清晰集合是模糊集合的一种特殊形式；而隶属函数则是特征函数的拓展；特征函数又是隶属函数的一个特例。
4.2.2模糊集合的表示方法
对于论域E上的模糊集合A，通常采用的表达方式有下述几种。
~1．Zadeh表示法
1）当E为离散有限域E?{e1,e2,???,en}时，按Zadeh表示法，有
A?~A(e1)~e1~?A(e2)~e2?????A(en)~en
式中，A(ei)/ei并不代表“分式”，而是表示元素ei对于集合A的隶属度?A(ei)和
~~元素ei本身的对应关系，同样“+”也不表示“加”运算，而是表示在论域E上，组成模糊集合A的全体元素ei(i?1,2,???,n)间排序与整体间的关系。
~2）当E是连续有限域时，Zadeh给出的表示法为
A??~?A(e)~Ee
同样，这里的“?”符号也不表示“求积”运算，而是表示连续论域E上的元素e与隶属度?A(e)一一对应关系的总体集合。
~另外，还有函数描述法、序偶表示法和矢量表示法等，不做具体介绍。
4.2.3模糊集合中的基本定义和运算性质 4.2.3.1基本定义
模糊集合中的基本术语必须使用隶属函数来定义，这和清晰集合是有区别的。
4.2.3.2基本定义
与清晰集合一样，在模糊集中也具有“交”、“并”、“补”等基本运算。设论域E上的两个模糊子集A与B，由隶属函数决定其模糊集合的“交”、“并”和“补”
~~集。
4.2.3.3隶属函数的确定方法
隶属函数的确定，应该是反映出客观模糊现象的具体特点，要符合客观规律，而不是主观臆想的。但是，一方面由于模糊现象本身存在着差异，而另一方面，由于每个人在专家知识、实践经验、判断能力等方面各有所长，即使对于同一模糊概念的认定和理解，也会具有差别性，因此，隶属函数的确定又是带有一定的主观性，仅多少差异。正因为概念上的模糊性，对于同一个模糊概念，不同的人会使用不同的确定隶属函数的方法，建立不完全相同的隶属函数，但所得到的处理模糊信息问题的本质结果应该是相同的。目前常用确定隶属函数的方法大致有下述几种。
模糊统计法：其基本思想是对论域E上的一个确定元素e0是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A?，做出确切的判断。清晰集合A?是联系于一个模糊集合
A，其相应的模糊概念水平为?。A?的每一次判定，都是对?作出的一个确定
~的划分，它表示了?的一个近似外延。它要求在每次试验中，A?得性质必须是确定的清晰集合。在各次统计中，e0是固定的，A?的值是变动的，作n次试验，其模糊统计可按下式进行计算：
e0对A的隶属频率?f(n)?~\e0?A?\的次数
n随着n的增大 ，隶属频率也会趋向
另外，可以借助常见模糊分布来确定隶属函数，如正态分布、三角形分布等。
4.2.2模糊关系 4.2.2.1模糊关系定义
两个非空集合U与V之间的直积
U?V?{?u,v?|u?U,v?V}
中的一个模糊子集R被称为U到V的模糊关系，又称二元模糊关系。其特性可以
~由下面的隶属函数来描述
?R：U?V?[0,1]
隶属函数?R(u,v)表示序偶?u,v?的隶属程度，也描述了(u,v)间具有关系R的
~~量级。特别在论域U?V时，称R为U上的模糊关系。当论域为n个集合
~Ui(i?1,2,???,n)的直积U1?U2?????Un时，它们所对应的模糊关系R则被称为n~