大学物理简明教程习题解答
习题一
drdrdvdv1-1｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同?dt和dt有无不同?其不同在哪里?试
举例说明．
解：（1）
?r
是位移的模，?r是位矢的模的增量，即
?r?r2?r1，
?r?r2?r1??；
drdrds?v?dt（2）dt是速度的模，即dt. drdt只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r?（式中r?叫做单位矢）dt ∵有r?rr，则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量，
drdr与dtdt不同如题1-1图所示. ∴
题1-1图
??dvdvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量.
(3)dt表示加速度的模，即
??v?v?(?∵有表轨道节线方向单位矢），所以
??dvdv?d????vdtdtdt
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (dtyy1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，=(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
d2rdr2x2?y2出r＝，然后根据v=dt，及a＝dt而求得结果；又有人先计算速度和加速度
的分量，再合成求得结果，即
?dx??dy??????v=?dt??dt?及a=
22?dx??dy???dt2?????dt2??????
2222你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
???r?xi?yj，
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
故它们的模即为
?dx??dy?22v?vx?vy???????dt??dt?222而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????
drv?dtd2ra?2dt
2drd2rdr与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速度的模，其二，可能是将dtd2r2而只是速度在径向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
2?d2r?d??????a径?2?r??dtdt??????r的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即
??量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。 1-3 一质点在
xOy平面上运动，运动方程为
式中t以 s计，x,以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s时质点的速度；(5)计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
y1x=3t+5, y=2t2+3t-4.
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）
(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5jm
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵0???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴
????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)
???v?3i?7jm?s?1 则4??????v?3i?3j,v4?3i?7j (5)∵0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44? ??dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以
yv0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解：设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知 将上式对时间t求导，得
l2?h2?s2
dlds?2sdtdt根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，
dldsv绳???v0,v船??dtdt ∴
2l题1-4图
vdsldll???v0?0dtsdtscos? 即
lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或
v将船再对t求导，即得船的加速度 v船??dlds?ldv船?v0s?lv船dtdta??v0?v0dts2s2l22(?s?)v02h2v0s??3s2s
2?2xm?sxaa1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为＝2+6，的单位为，x的单位
s