第一章 函数与极限习题详解
第一章 函数与极限
习 题 1-1
1．求下列函数的自然定义域：
1（1）y??x?2； 21?x?1?x2?0解：依题意有?，则函数定义域D(x)??x|x??2且x??1?．
x?2?0?2x?1arccos3； （2）y?2x?x?6?2x?1?1?3解：依题意有?，则函数定义域D(x)??． ?x2?x?6?0?（3）y?ln(?x2?3x?2)；
解：依题意有?x2?3x?2?0，则函数定义域D(x)??x|1?x?2?．
1（4）y?2x3?x；
解：依题意有x3?x?0，则函数定义域D(x)??x|???x???且x?0,?1?． 1?, x?1,?sin（5）y??x?1 ??2， x?1;解：依题意有定义域D(x)??x|???x????．
1（6）y?arctan?3?x. x?x?0解：依题意有?，则函数定义域D(x)??x|x?3且x?0?．
3?x?0?2．已知f(x)定义域为[0,1]，求f(x2), f(sinx), f(x?a), f(x?a)?f(x?a)
(a?0)的定义域．
解：因为f(x)定义域为[0,1]，所以当0?x2?1时，得函数f(x2)的定义域为[?1,1]； 当0?sinx?1时，得函数f(sinx)定义域为[2kπ,(2k?1)π]； 当0?x?a?1时，得函数f(x?a)定义域为[?a,?a?1]； ?0?x?a?11当?时，得函数f(x?a)?f(x?a)定义域为：（1）若a?，x??a,1?a?；
2?0?x?a?1111（2）若a?，x?；（3）若a?，x??．
222?1?a?x3．设f(x)?2?1??,其中a?0,求函数值f(2a),f(1)． 22x?a?2ax?x??1?a?x1???，则 22x2?a?2ax?x?1?a?1??0 ,a>1,1??a?1f(1)?1?f(2a)?2?1??，． ??????2 ,0 第一章 函数与极限习题详解 ?1|x|?1,?4．设f(x)??0|x|?1,??1|x|?1.?g(x)?2x，求f(g(x))与g(f(x))，并做出函数图形． ?12x?1?1x?0??解：f(g(x))??02x?1，即f(g(x))??0x?0， ??1 x?0?x?1 2?1????21|x|?1?2|x|?1??g(f(x))??20|x|?1，即g(f(x))??1|x|?1，函数图形略． ?1??12|x|?1?? |x|?1?2x?0,x??1,?1?x,?2?x,5．设f(x)??试证：f[f(x)]?? 1,x?0,1,x??1.??x??1,?1?f(x),f(x)?0?2?x,证明：f[f(x)]??，即f[f(x)]??，得证． 1,f(x)?01,x??1??6．下列各组函数中，f(x)与g(x)是否是同一函数？为什么？ （1）f(x)?ln?x2?3?x,g(x)??ln??x2?3?3 ； ?不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）f(x)?3x5?2x3,g(x)?x3x2?2； 是． （3）f(x)?2,g(x)?sec2x?tan2x； 不是，因为对应法则不同． （4）f(x)?2lgx,g(x)?lgx2； 不是，因为定义域不同． 7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）y?3x?lnx，x?(0,??)； 解：当x?(0,??)时，函数y1?3x单调递增，y2?lnx也是单调递增，则y?y1?y2在(0,??)内也是递增的． ?x （2）y?，x?(??,1)． 1?x?x(1?x)?11解：y?，当x?(??,1)时，函数y1?x?1单调递增，则??1?1?x1?xx?111?x是单调递减的，故原函数y?是单调递减的． y2??y1x?11?x8. 判定下列函数的奇偶性． （1）y?lg(x?x2?1)； 解：因为f(?x)?lg(?x?x2?1)?lg(x?x2?1)?1??lg(x?x2?1)??f(x)， 所以y?lg(x?x2?1)是奇函数． （2）y?0； 解：因为f(?x)?0?f(x)，所以y?0是偶函数． （3）y?x2?2cosx?sinx?1； 解：因为f(?x)?x2?2cosx?sinx?1，f(?x)?f(x)且f(?x)??f(x)，所以y?x2?2cosx?sinx?1既非奇函数，又非偶函数． 2 第一章 函数与极限习题详解 ax?a?x（4）y?. 2a?x?axax?a?x解：因为f(x)?是偶函数． ?f(x)，所以函数y?229．设f(x)是定义在[?l,l]上的任意函数，证明： （1）f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数； （2）f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令g(x)?f(x)?f(?x),h(x)?f(x)?f(?x)，则 所以f(x)?f(?x)是偶函数，g(?x)?f(?x)?f(x)?g(x),h(?x)?f(?x)?f(x)??h(x)， f(x)?f(?x)是奇函数． f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)（2）任意函数f(x)?，由（1）可知是偶函?222f(x)?f(?x)数，是奇函数，所以命题得证． 210．证明：函数在区间I上有界的充分与必要条件是：函数在I上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数f(x)在区间I上有界，则存在正数M，使得x?I，都有f(x)?M成立，显然?M?f(x)?M，即证得函数f(x)在区间I上既有上界又有下界 （充分性）设函数f(x)在区间I上既有上界M2，又有下界M1，即有f(x)?M1且f(x)?M2，取M?max{M1,M2}，则有f(x)?M，即函数f(x)在区间I上有界． 11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）y?|sinx|； 周期函数，周期为π． （2）y?1?sinπx； 周期函数，周期为2． （3）y?xtanx； 不是周期函数． （4）y?cos2x. 周期函数，周期为π． 12．求下列函数的反函数： 3x（1）y?x； 3?1yy解：依题意，3x?，则x?log3，所以反函数为 y?1y?1xf?1(x)?log3,x?(??,0)?(1,??)． x?1ax?b（2）y?(ad?bc)； cx?db?dyb?dx解：依题意，x?，则反函数f?1(x)?(ad?bc)． cy?acx?a（3）y?lgx?x2?1； ??11解：依题意，x?(10y?10?y)，所以反函数f?1(x)?(10x?10?x),x?R． 22π??π（4）y?3cos2x,???x??． 4??4 3