数列的通项公式与求和
练习1 数列{an}的前n项为Sn,且a1?1，an?1?(1)求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.(2)求a2?a4?L?a2n1Sn(n?1,2,3,L)3
n?2Sn(n?1,2,L).证明:n 练习2 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1?1，an?1?Sn}是等比数列;n(2)Sn?1?4an(1)数列{练习 3 已知数列{an}的前n项为Sn，Sn?
1(an?1)(n?N*)3(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列.
11 已知数列{an}满足a1?,an?1?an?2,求an.练习4 2n?n
2nan,求an.练习 5 已知数列{an}满足,a1?,an?1?3n?1 511n?1 已知数列{a}中,a?,a?a?(),求an.n1n?1n练习6
632
练习7 已知数列{a}满足:a? nnan?1，a1?1,求数列{an}的通项公式.3?an?1?1
222a12?a2?a3???an练习8 等比数列
{an}的前n项和S＝2ｎ－１，则ｎ
5n(10?1)练习9 求和：5，55，555，5555，…，9，…；
111??L?练习10 求和：1?44?7(3n?2)?(3n?1)
1111???L??1?21?2?31?2?3?L?n 练习11 求和：
练习12 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，
?an???a3?b5?21a5?b3?13{an}{bn}，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列?bn?的前n项和Sn．
答案
练习1答案： 练习2 证明： (1) 注意到：
a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2) 由(1)知，
{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。 所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得 a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N) 即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1) 又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得： S(n+1)=(n+1)*2^n =(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n 练习3 答案： 1)
a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2
a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2) 3Sn=an-1 3S(n-1)=a(n-1)-1 相减： 3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2 所以{an}为等比数列！ 练习4 累加法，答案： 练习5 累乘法，答案：
练习6 待定系数法，答案： 练习7 倒数法，答案：
4n?1练习8 公式法，答案：3
6785678?(9?99?999?L?99L9)S?5?55?555?L?55L5n9练习9 答案：
5505?[10?102?103?L?10n?n]?(10n?1)?n9819．
n个n个n练习10 ，列项相消法，答案3n?1 练习11，,列项相消法 1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1) 练习12 （错位相减法）
答案：解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且
4??1?2d?q?21，?2??1?4d?q?13，
an?1?(n?1)d?2n?1bn?qn?1?2n?1q?2d?2解得，．所以，．（Ⅱ）an2n?1?n?1bn2．
Sn?1?352n?32n?152n?32n?1??L??2S?2?3??L??n?2n21222n?22n?1，①22n?32，
②
2222n?1?2?2??1?1?1?L?1??2n?1Sn?2?2??2?L?n?2?n?1?2n?2?n?12222??2222②－①得，