5、x?d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 答案：
U?(A?{x})??
6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ;答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;答案：X 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ;答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;答案：X 10、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{2,3}},则X的子集A?{1,2} 的内部为 ;答案：{2}
11、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{1},{2,3}},则X的子集A?{1,3} 的内部为 ;答案：{1}
12、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{1},{2,3}},则X的子集A?{1,2} 的内部为 答案：{1}
13、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{2,3}},则X的子集A?{1,3} 的内部为 ;答案：?
14、设X?{a,b,c},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?} 15、设X?{a,b,c},则X的离散拓扑为 答案：T?{X,?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}} 16、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{3},{2,3}},则X的子集A?{1,3} 的内部为 ;答案：{3}
17、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{1},{3},{1,3}},则X的子集A?{1,2} 的内部为 ;答案：{1}
18、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集
f(X)的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入
19、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射
f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射
20、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f(U)是
Y中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射
21、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是
Y中的一个闭集，则称映射f是一个 答案：闭映射
22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；答案：不连通空间
23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；答案：不连通空间
24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 答案：不连通空间 25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个 ; 答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ； 答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质
28、若任意n?1个拓扑空间X1,X2,L,Xn,都具有性质P,则积空间X1?X2?L?Xn也具有性质P，则性质P称为 ;答案：有限可积性质
29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个 ；答案：不连通空间.
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，都有
1f?（A)?X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.
2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2； （２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故
A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；
（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而
?U?T’U?T1, ?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２； 综上有T1?T２也是X的拓扑．
3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ）答案:√ 理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p?I?A??p????，即p?d?A?,从而 d(A)??. 5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ）答案：× 理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而
X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所
以有d?A??X?A??.
6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ）答案：√ 理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有
X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所以有d?A??X.
7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X（ ）答案：√
理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然
AIB??，并且这时有:
B?B?X?(B?A)?(B?B)?B
从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足
A?B??,A?B?X.
8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 五．简答题（每题4分）
1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).
答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而
U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明gof:X?Z也是连续映射.
答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故f?1(g?1(W))是X的一开集，因此
(gof)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集，所以gof:X?Z是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集. 答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集. 答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此x?A,从而A?A,即有A?A，这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[0]},{[0],[1]}} 6、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 8、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?2]},{[?2],[1]}}