【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
2. 2【解析】 试题解析：（解法1）（Ⅰ）因为PD?底面ABCD，所以PD?BC， 由底面ABCD为长方形，有BC?CD，而PDICD?D， 所以BC?平面PCD. 而DE?平面PCD，所以BC?DE. 又因为PD?CD，点E是PC的中点，所以DE?PC.
而PCIBC?C，所以DE?平面PBC. 而PB?平面PBC，所以PB?DE. 又PB?EF，DEIEF?E，所以PB?平面DEF.
由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，?EFB，?DFB. （Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线. 由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以PB?DG.
又因为PD?底面ABCD，所以PD?DG. 而PDIPB?P，所以DG?平面PBD. 故?BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD?DC?1，BC??，有BD?1??2， 在Rt△PDB中, 由DF?PB, 得?DPF??FDB?则 tanπ, 3πBD?tan?DPF??1??2?3, 解得??2. 3PDDC12??. 所以
BC?2DC2π?故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，. BC23（解法2）
（Ⅰ）如图2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设
uuurPD?DC?1，BC??，则D(0,0,0),P(0,0,1),B(?,1,0),C(0,1,0)，PB?(?,1,?1)，点E是PC的中点，
所
uuur1111以E(0,,)，DE?(0,,)，
2222uuuruuur于是PB?DE?0，即PB?DE.
又已知EF?PB，而DEIEF?E，所以PB?平面DEF. uuuruuuruuur因PC?(0,1,?1), DE?PC?0, 则DE?PC, 所以DE?平面PBC.
由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，?EFB，?DFB.
26
uuur（Ⅱ）由PD?平面ABCD，所以DP?(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；
uuur由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以BP?(??,?1,1)是平面DEF的一个法向量.
π若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，
3uuuruuurπBP?DP11ruuur??， 则cos?uuu3|BP|?|DP|?2?22解得??2. 所以
DC12??. BC?2DC2π时，. ?BC23考点：1.四棱锥的性质，2.线、面垂直的性质与判定，3.二面角. 10. (2015湖北文)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD，且PD?CD，点E是PC的中点，连接DE,BD,BE.
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
（Ⅰ）证明：DE?平面PBC. 试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
V（Ⅱ）记阳马P?ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求1的值．
V2【答案】（Ⅰ）因为PD?底面ABCD，所以PD?BC. 由底面ABCD为长方形，有BC?CD，而PDICD?D，所以BC?平面PCD. DE?平面PCD，所以BC?DE. 又因为PD?CD，点E是
（Ⅱ）PC的中点，所以DE?PC. 而PCIBC?C，所以DE?平面PBC.四面体EBCD是一个鳖臑；
V1?4. V2 27
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.
【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.
11. (2015湖南文)如图4，直三棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是
BC,CC1的中点。
（I）证明：平面AEF?平面B1BCC1；
（II）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥F?AEC的体积。
o
【答案】（I）略；(II)
6 . 12【解析】 试题分析：（I）首先证明AE?BB1，AE?BC，得到AE?平面B1BCC1，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF?平面B1BCC1； (II)设AB的中点为D,证明直线?CA1D直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知?CA1D?45，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积. 试题解析：（I）如图，因为三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱， 所以AE?BB1，又E是正三角形ABC 的边BC的中点， 所以AE?BC，因此AE?平面B1BCC1，而AE?平面AEF， 所以平面AEF?平面B1BCC1。
（II）设AB的中点为D，连接A1D,CD，因为?ABC是正三角形，所以CD?AB，又三棱柱
oABC?A1B1C1是直三棱柱，所以CD?AA1，因此CD?平面A1AB1B，于是?CA1D直线A1C与平
面A1ABB1所成的角，由题设知?CA1D?45， 所以A1D?CD?o3AB?3， 3在Rt?AA1D中，AA1?A1D2?AD2?3?1?2，所以FC?12AA1? 22故三棱锥F?AEC的体积V?11326SAEC?FC????。 332212 28
考点：柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质
12. (2015湖南理)如图，已知四棱台ABCD?A1B1C1D1上、下底面分别是边长为3和6的正方形，
AA1?6，且AA1?底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上.
（1）若P是DD1的中点，证明：AB1?PQ；
（2）若PQ//平面ABB1A1，二面角P?QD?A的余弦值为
3，求四面体ADPQ的体积. 7【答案】（1）详见解析；（2）24.
29
30