柯西不等式在椭圆最值问题中的运用
苏州高新区第一中学
摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，它本身和它的推广，对解决不等式证明、最
值求解、几何三角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果，笔者发现在解析几何中，灵活巧妙地使用柯西不等式，能使一些难题迎刃而解，大大减少运算量，起到事半功倍的效果，本文通过实例阐述如何运用柯西不等式解决椭圆最值问题
关键词：柯西不等式，解析几何，椭圆最值问题
苏教版新课标的选修教材《不等式选讲》中介绍了柯西不等式，它对解决不等式证明、最值求解、几何三角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果，柯西不等式的学习和使用能够拓展学生的知识面，提高学生的数学学习能力。
二维柯西不等式：设a,b,c,d?R，则(a2+b2)(c2+d2)?(ac当且仅当
bd)2，
ab=时，不等式取等号，由此可以推得 cdx2y2结论一：如果2+2=1，则(mx+ny)2?(ma)2ab当且仅当
(nb)2，
xy=时，不等式取等号 ma2nb22222证明：(ma)+(nb)=犏()2+()2轾(ma)+(nb)?(mx犏臌犏轾xa臌ybny)2
当且仅当
xy=时，不等式取等号 ma2nb2x12y12x22y22结论二：如果2+2=1,2+2=1，则
abab（1）(x1y2+x2y1)2?a2b2，当且仅当
bx1ay1时，不等式取等号 ， =ay2bx2bx1ay1时，不等式取等号 =-ay2bx2y1x22祝)bax12y12y22x22ab(2+2)(2+2)=a2b2，
abba22（2）(x1y2-x2y1)2?a2b2，当且仅当
xy(x1y2+y1x2)=ab(1?2证明：（1）
ab222当且仅当
bx1ay1=时，不等式取等号 ay2bx2xy（2）(x1y2-y1x2)=ab(1?2ab222-y1x22祝)ba2222轾x(-y)yx221122ab犏2+(+)=ab 222犏abba臌22当且仅当
bx1ay1时，不等式取等号 =-ay2bx2[来源学科网]下面笔者通过实例阐述如何运用上述结论解决椭圆最值问题：
x2y2+=1，求z=2x+y的最大值。 例1.设实数x,y满足条件23解：由柯西不等式得
轾x2z=(2x+y)?犏()犏臌222(y2轾)犏(22)2+(3)2=11 3臌当且仅当
xy=不等式取等号 43ì????由?í??????
祆镲411411x2y2
x=x=-+=1镲镲镲11或11（舍）23得镲 眄镲xy311311镲=镲y=y=-镲43镲1111铑\\zmax=11
x2+y2=1相切的直线方程及切点坐标。 变式：求与2x-y+3=0平行且和椭圆3解：设切线方程为2x-y=z，由图可知，切线2x-y=z1使纵截距-z最小，使z最大，
x2+y2=1下，求切线2x-y=z2使纵截距-z最大，使z最小，则问题变为在约束条件3目标函数z=2x-y的最值问题，所以求z=2x-y的最值即可求得切线
轾x2(2x-y)?犏()犏臌32y2轾(23)2+(-1)2=13 犏臌x3=y即x=-6y时取等号
当且仅当23-1\\(2x-y)max=13,(2x-y)min=-13 故所求切线的方程为2x-y?130，将x=-6y带入直线方程得切点坐标为(6131361313,-)和(-,)
13131313x2+y2=1，例2．已知椭圆点A、B分别为椭圆的右顶点上顶点，C为在椭圆上的动点，4求DABC面积S的最大值
解：设C(x0,y0)，由已知得A(2,0),B(01)，则直线AB的方程为x+2y-2=0 所以点C到直线AB的距离d=x0+2y0-25y02[来源学*科*网]
轾x由柯西不等式得：(x0+2y0)?犏(0)2犏2臌222轾2+2=8 犏臌\\-22?x02y0?22 2y0-2?222 ?22+2 5\\-22-2?x0\\d=x0+2y0-25祆ì镲x0=2y0x0=-2x0=2?镲?镲?（舍）当且仅当íx2即镲时，不等式取等号 眄2或220镲?+y0=1镲y0=-y0=?镲???422镲铑又AB=
122+2=5，所以DABC面积S的最大值为鬃5252+1
x2+y2=1，变式：已知椭圆点A、B分别为椭圆的右顶点上顶点，直线y=kx(k>0)与4椭圆相交于C、D两点，求四边形ACBD面积S的最大值。
[来源学科网]
解：设点C(x,y)(x>0)，由已知得AO=2,BO=1，由椭圆的对称性易知四边形ACBD的面积等于四边形AOBC的两倍，，所以四边形ACBD的面积
S=2(SDAOC+SDBOC)=x+2y
由柯西不等式得 S=(x+2y)?(22x02)2y0222+22=8
\\S?22，当且仅当
xy=即x=422时取等号，所以四边形的面积的最大值为22