第11讲 幂函数
1．了解幂函数的概念．
11
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
x23．能解决与幂函数有关的一些简单问题．
知识梳理
1．幂函数的定义
一般地，函数 y＝xα(α为常数) 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象比较
1． 幂函数y＝x的性质 幂α>0 α<0 函 数图象通过点 (1,1) 图象通过点 (1,1) 的在第一象限内，函数是 在第一象限内，函数是 性 增函数 减函数 质 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近
1．幂函数y＝xα(α≠0,1)在第一象限的图象有以下三种形式：
α
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的定义域及奇偶性．
幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
热身练习
123
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝ .
222
12121113
由幂函数的定义得k＝1，再将(，)代入f(x)＝xα，得()α＝＝()，所以α＝，故k＋α＝.
22222222
?
?
1??
2．设α∈?－1，1，2，3?，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(A) A．1,3 B．－1,1 1
C．－1,3 D.，1,3
2
y＝x
－1
的定义域为{x|x≠0}，y＝x2的定义域为{x|x≥0}，所以B，C，D均可排除，选A.
13．(经典真题)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(C) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，
所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立． 因此“x>1”是“x3>1”的充要条件．
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(A)
－－
A．y＝x2 B．y＝x1 C．y＝x2 D．y＝x2
y＝x
－2
1和y＝x2是偶函数，由幂函数的图象可知，y＝x
4323－2
在(0，＋∞)上单调递减，选A.
5．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(A) A．b a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5. 23134323231323因为y＝x在第一象限内为增函数， 又5>4>3，所以c>a>b. 幂函数的概念 (2018·抚顺期末)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( ) A．4 B．－1 C．2 D．－1或4 因为f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数， 2??m－3m－3＝1，所以?解得m＝4. ?m>0，? A 幂函数和指数函数、对数函数一样，是一种“形式”定义，它满足如下特征： (1)以幂的底为自变量，指数为常数； (2)xα前的系数为1，xα后面不加任何项． －－ 1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x5m3为减函数，则实数m的值为(A) A．m＝2 B．m＝－1 1±5 C．m＝－1或m＝2 D．m≠ 2 因为幂函数x的系数为1，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，则α<0， 2??m－m－1＝1，所以?解得m＝2. ??－5m－3<0， - 比较大小 (2018·保定模拟)下列选项正确的是( ) A．0.2>0.3 B．2<3 － C．0.80.1>1.250.2 D．1.70.3>0.93.1 选项A中，因为函数y＝x0.2在(0，＋∞)上为增函数， 又0.2<0.3，所以0.20.2<0.30.2. 选项B中，因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数， 又2<3，所以2>3. 选项C中，0.81＝1.25，y＝1.25x在R上是增函数， － 0．1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.80.1<1.250.2. 选项D中，1.70.3>1,0.93.1<1. 所以1.70.3>0.93.1. D － -130.20.2 13-13-13-13 比较指数式大小的方法： ①当底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小； ②当指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小； ③当底数和指数都不同时，常常借助中间量，如“0”“1”等进行比较． 2．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>0,0 根据式子的特征，构造函数并利用其单调性进行比较． lg clg c 对于选项A，logac＝，logbc＝，因为0 lg alg blg b的正负，所以logac与logbc的大小不能确定． lg alg b1 对于选项B，logca＝，logcb＝，而lg a>lg b，两边同乘一个负数，不等号方向改变，所以logca lg clg clg c所以选项B正确． 对于选项C，利用y＝xc(0 幂函数的图象和性质的应用 ?f?x?，f?x?≤g?x?，?1 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝?试 2?g?x?，f?x?>g?x?，? 求函数h(x)的最大值以及单调区间．