类型2 与图形变换有关的几何综合题
（2018宜昌）在矩形ABCD中，AB?12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点
G，过点B作BE?CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.
(1)如图1，若点E是AD的中点，求证:?AEB≌?DEC； (2) 如图2，①求证: BP?BF；
②当AD?25，且AE?DE时，求cos?PCB的值； ③当BP?9时，求BE EF的值.
图1 图2 图2备用图 23.(1)证明：在矩形ABCD中，?A??D?90,AB?DC, 如图1，又
AE?DE，
图1
?ABE??DCE,
(2)如图2，
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图2
①在矩形ABCD中，?ABC?90,
?BPC沿PC折叠得到?GPC
??PGC??PBC?90,?BPC??GPCBE?CG ?BE//PG, ??GPF??PFB
??BPF??BFP ?BP?BF
②当AD?25时，
?BEC?90
??AEB??CED?90, ?AEB??ABE?90,
??CED??ABE
又
?A??D?90,
??ABE∽?DEC ?ABDEAE?CD ∴设AE?x，则DE?25?x，
?12x?25?x12， 解得x1?9，x2?16
AE?DE
?AE?9,DE?16, ?CE?20,BE?15,
由折叠得BP?PG，
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?BP?BF?PG, BE//PG, ??ECF∽?GCP ?EFPG?CECG 设BP?BF?PG?y，
?15?y20y?25 ?y?253 则BP?253 在Rt?PBC中，PC?2510BC3,cos?PCB?PC?252510?310103③若BP?9,
解法一：连接GF，（如图3）
?GEF??BAE?90, BF//PG,BF?PG
∴四边形BPGF是平行四边形
BP?BF,
?平行四边形BPGF是菱形 ?BP//GF, ??GFE??ABE, ??GEF∽?EAB ?EFGF?ABBE ?BEEF?ABGF?12?9?108
解法二：如图2，
?FEC??PBC?90,
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?EFC??PFB??BPF, ??EFC∽?BPC ?EFBP?CECB 又
?BEC??A?90,
由AD//BC得?AEB??EBC,
??AEB∽?EBC ?ABCEBE?CB ?AEEFBE?BP ?BEEF?AEBP?12?9?108
解法三：（如图4）过点F作FH?BC，垂足为HS?BPFS?BF四边形PFEGEF?PG?BFBE图4
BFS?BFCEF?BE?BCEFS?? ?BEC12?BC12?9BE?EF12 ?BEEF?12?9?108
（2018邵阳）
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