式中 Vr?V(1?0.978?10?6v)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压
V的单位是伏特。
证明： ?E2?pc?m0c?p?22241c?6Ek(Ek?2m0c)?22m0ve222m0cv?1
?p?hp2m0?h2m0v(1?0.978?10hc2m0c2v)?2m0Vr ???Vr?Vr1.266Vrnm证毕
23-6（1）试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于，式中E0和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量。
?E????1?E0? （2）当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长（康普顿波长 ?C?hmc ，m为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论）。
?hmc证明：（1）由康普顿波长?c，德布罗意波长??pc?mc22224?hp??c??pmc
而已经考虑相对论效应E2 对于?E????1??E0?2
pcmc2E?E0E022?pcE0222??pmc
左式=右式，即得证 （2）当两者波长相等时，即 由上等式可知E2?E????1?1 E?0?2222422?2E0?pc?mc?Ek?pc?mc
3-7一原子的激发态发射波长为600
??nm的光谱线，测得波长的精度为
??10?7，试问该原子态的寿命为多少？
?hc解：辐射光子的能量为E?，对上式两边取微分，可得?E???hc?2??
由上式即可得波长的相对变化量式得
???????Ehc?1?而?E??2?将（2）式代入（1）?2?，
?4?c???3?
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由（3）式即可求出原子态的寿命???4?c??，将已知数据代入得
? ??2?10?9
第四章习题解答
4-1 一束电子进入1.2T的均匀磁场时,试问电子的自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大?
??解：∵磁矩为?的磁矩，在磁场B???? U = -?2B??中的能量为：
= -?szB
电子自旋磁矩 ?sz=??B
∴电子自旋平行于和反平行于磁场的能量差u =?BB – (-?BB) =2?BB ∴u = 2?BB =2 30.5788310?4eV2T?13 1.2 T = 1.39 310?4 eV 4-2 试计算原子处于2D3/2状态的磁矩μ及投影μz的可能值. 解：由2D3/2可知 S=
3212 J=
32 L=2
11=+2223 ∴gj=
+
1S(S?1)?L(L?1)2?3232?2?3?52J(J?1)=
45
又?j=gj?Bj(j?1) =45×32×52?B =1.55 ?B
∴?=1.55 ?B 又?j,z ∴?j,z 或?j,z 即?j,z?mjgj?B?????(1232××4545 又mj2565?3113,,?,?2222
?B???B???B ?B
6226,,?,?)?B5555
4-3 试证实:原子在6G3/2状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一事实作
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出解释.解：由6G3/2 可知：S =
352 J =
32 L = 4
5?7232?4?5×52?0 ∴ gJ1S(S?1)?L(L?1)31??·??·222J(J?1)22
∴ ?J?j(j?1)gj?B?0
即原子在6G3/2状态的磁矩等于零。
?????? 解释：∵原子的总角动量为 J?L?S，而处于6G3/2态原子各角动量为：
20??4.47? 352152 L S?L(L?1)??4(4?1)??55(?1)??2233(?1)??22?S(S?1)????2.96?
J?J(J?1)????1.94?
则它们的矢量关系如图示：
??L??和S??同时绕J旋进，相对取项保持不变
由三角形余弦定理可知：
????1 L?J?(L2?J22?S)=3252212[L(L?1)??J(J?1)??S(S?1)?]722222
??22[4?5???52?]?15272?2
52154????1 而S?J?(S2?J22?L)?2?2(52??32??4?5)???2
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?2?B?S??S ∴相应的磁矩 ?S??gS???????B??B?L??L ????gL???????? ???S??L
????B??? 由于磁矩?随着角动量绕J????旋进，因而对外发生效果的是?在J??方向上的
分量。其大小计算如下： ?J???????JJ???(?L????S)?JJ?????????????(L?J?2S?J)B?J
????(152?2?15?B?)?04J
?0??此结果说明，?垂直于J，因而原子总磁矩?J
4-4 在史特恩-盖赫拉实验中,处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场,并射到屏上,磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离D=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2S1/2,质量为107.87u.
??解：原子束通过非均匀磁场时，如果磁场B在Z方向，可以证明：落在屏幕上的
原子束偏离中心的距离为：
Z?d?D3KT??BZJ,Z?Z?Mg?B?Bd?D?Z3KT
?BZ?Z（式中T为炉温，d为不均匀磁场的线度，D是磁场中心到屏的距离，向不均匀磁场梯度，?J,Z是横
是原子的总磁矩在Z方向的分量），分裂后的原子束偏
d?D3KT12离中心的最大距离 Z = Jg 对2S1/2： S=
12??BZB?Z
，L=0，J=
132?1232?32
3212 ∴g??22????2
Z′=2Z
又 Z′=2.0mm ∴ Z=10mm
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?BZ?Z=
Z2?3KTJgdD?B?Z2?mv2JgdD?B
?272 ?1012?3?107.87?1.66?10?400T?m?1
?2?0.1?0.25?0.9274?10?23 ?2.868?102.32?10?23?25
?m?1 ?1.24?10?2T
4-5 在史特恩-盖赫拉实验中(图19.1),不均匀横向磁场梯度为
????BZ/?Z?5.0T/cm ,磁极的纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏的距离D=30cm,使
用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能Ek=50meV.试求屏上线束边缘成分之间的距离．
解：设在屏上偏离x轴的距离为Z2
∴Z2=?mjgj?B 由 4F3/2 可知 S32?BZdD?Z3KT
32?32 J? L32?3
3 ∴gJ??1S(S?1)?L(L?1)2J(J?1)??12·2?5232?3?4?52?25
32 mJ?3113,,?,2222 要求线束边缘间的距离，则mJ取
热平衡时 mV2 ∴Z2?3KT?2EK?2?50meV?100meV?BZdD?mjgj?B?Z3KT?5
10?30100?10?3 =
32?25?5.788?10?5?cm
=0.52cm ∴Z?2Z2?2?2.52cm?1.04cm
4-6 在史特恩-盖赫拉实验中,原子态的氢从温度为400K的炉中射出,在屏上接受
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