习题解答

式中 Vr?V(1?0.978?10?6v),称为相对论修正电压,其中电子加速电压

V的单位是伏特。

证明: ?E2?pc?m0c?p?22241c?6Ek(Ek?2m0c)?22m0ve222m0cv?1

?p?hp2m0?h2m0v(1?0.978?10hc2m0c2v)?2m0Vr ???Vr?Vr1.266Vrnm证毕

23-6(1)试证明:一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于,式中E0和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量。

?E????1?E0? (2)当电子的动能为何值时,它的德布罗意波长等于它的康普顿波长(康普顿波长 ?C?hmc ,m为粒子静止质量,其意义在第六章中讨论)。

?hmc证明:(1)由康普顿波长?c,德布罗意波长??pc?mc22224?hp??c??pmc

而已经考虑相对论效应E2 对于?E????1??E0?2

pcmc2E?E0E022?pcE0222??pmc

左式=右式,即得证 (2)当两者波长相等时,即 由上等式可知E2?E????1?1 E?0?2222422?2E0?pc?mc?Ek?pc?mc

3-7一原子的激发态发射波长为600

??nm的光谱线,测得波长的精度为

??10?7,试问该原子态的寿命为多少?

?hc解:辐射光子的能量为E?,对上式两边取微分,可得?E???hc?2??

由上式即可得波长的相对变化量式得

???????Ehc?1?而?E??2?将(2)式代入(1)?2?,

?4?c???3?

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由(3)式即可求出原子态的寿命???4?c??,将已知数据代入得

? ??2?10?9

第四章习题解答

4-1 一束电子进入1.2T的均匀磁场时,试问电子的自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大?

??解:∵磁矩为?的磁矩,在磁场B???? U = -?2B??中的能量为:

= -?szB

电子自旋磁矩 ?sz=??B

∴电子自旋平行于和反平行于磁场的能量差u =?BB – (-?BB) =2?BB ∴u = 2?BB =2 30.5788310?4eV2T?13 1.2 T = 1.39 310?4 eV 4-2 试计算原子处于2D3/2状态的磁矩μ及投影μz的可能值. 解:由2D3/2可知 S=

3212 J=

32 L=2

11=+2223 ∴gj=

+

1S(S?1)?L(L?1)2?3232?2?3?52J(J?1)=

45

又?j=gj?Bj(j?1) =45×32×52?B =1.55 ?B

∴?=1.55 ?B 又?j,z ∴?j,z 或?j,z 即?j,z?mjgj?B?????(1232××4545 又mj2565?3113,,?,?2222

?B???B???B ?B

6226,,?,?)?B5555

4-3 试证实:原子在6G3/2状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一事实作

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出解释.解:由6G3/2 可知:S =

352 J =

32 L = 4

5?7232?4?5×52?0 ∴ gJ1S(S?1)?L(L?1)31??·??·222J(J?1)22

∴ ?J?j(j?1)gj?B?0

即原子在6G3/2状态的磁矩等于零。

?????? 解释:∵原子的总角动量为 J?L?S,而处于6G3/2态原子各角动量为:

20??4.47? 352152 L S?L(L?1)??4(4?1)??55(?1)??2233(?1)??22?S(S?1)????2.96?

J?J(J?1)????1.94?

则它们的矢量关系如图示:

??L??和S??同时绕J旋进,相对取项保持不变

由三角形余弦定理可知:

????1 L?J?(L2?J22?S)=3252212[L(L?1)??J(J?1)??S(S?1)?]722222

??22[4?5???52?]?15272?2

52154????1 而S?J?(S2?J22?L)?2?2(52??32??4?5)???2

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?2?B?S??S ∴相应的磁矩 ?S??gS???????B??B?L??L ????gL???????? ???S??L

????B??? 由于磁矩?随着角动量绕J????旋进,因而对外发生效果的是?在J??方向上的

分量。其大小计算如下: ?J???????JJ???(?L????S)?JJ?????????????(L?J?2S?J)B?J

????(152?2?15?B?)?04J

?0??此结果说明,?垂直于J,因而原子总磁矩?J

4-4 在史特恩-盖赫拉实验中,处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场,并射到屏上,磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离D=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2S1/2,质量为107.87u.

??解:原子束通过非均匀磁场时,如果磁场B在Z方向,可以证明:落在屏幕上的

原子束偏离中心的距离为:

Z?d?D3KT??BZJ,Z?Z?Mg?B?Bd?D?Z3KT

?BZ?Z(式中T为炉温,d为不均匀磁场的线度,D是磁场中心到屏的距离,向不均匀磁场梯度,?J,Z是横

是原子的总磁矩在Z方向的分量),分裂后的原子束偏

d?D3KT12离中心的最大距离 Z = Jg 对2S1/2: S=

12??BZB?Z

,L=0,J=

132?1232?32

3212 ∴g??22????2

Z′=2Z

又 Z′=2.0mm ∴ Z=10mm

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?BZ?Z=

Z2?3KTJgdD?B?Z2?mv2JgdD?B

?272 ?1012?3?107.87?1.66?10?400T?m?1

?2?0.1?0.25?0.9274?10?23 ?2.868?102.32?10?23?25

?m?1 ?1.24?10?2T

4-5 在史特恩-盖赫拉实验中(图19.1),不均匀横向磁场梯度为

????BZ/?Z?5.0T/cm ,磁极的纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏的距离D=30cm,使

用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能Ek=50meV.试求屏上线束边缘成分之间的距离.

解:设在屏上偏离x轴的距离为Z2

∴Z2=?mjgj?B 由 4F3/2 可知 S32?BZdD?Z3KT

32?32 J? L32?3

3 ∴gJ??1S(S?1)?L(L?1)2J(J?1)??12·2?5232?3?4?52?25

32 mJ?3113,,?,2222 要求线束边缘间的距离,则mJ取

热平衡时 mV2 ∴Z2?3KT?2EK?2?50meV?100meV?BZdD?mjgj?B?Z3KT?5

10?30100?10?3 =

32?25?5.788?10?5?cm

=0.52cm ∴Z?2Z2?2?2.52cm?1.04cm

4-6 在史特恩-盖赫拉实验中,原子态的氢从温度为400K的炉中射出,在屏上接受

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