回扣4 数 列
1.牢记概念与公式 等差数列、等比数列
等差数列 等比数列 通项公式 a-1n=a1+(n-1)d an=a1qn(q≠0) Sn?a1+an?n=2=na1+前n项和 (1)q≠1,Sa1?1-qn?a1-anqn=1-q=1-q; n?n-1?2d (2)q=1,Sn=na1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
等差数列 等比数列 ①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p①若m,n,p,q∈N*,且m+n+q,则am+an=ap+aq;②an=am=p+q,则am·an=ap·aq;②an性质 +(n-m)d;③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…=an-mmq;③Sm,S2m-Sm,S3m-仍成等差数列 S2m,…仍成等比数列(Sm≠0)
(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法
an+1-an=d(常数)(n∈N*)?{an}是等差数列.
②通项公式法
a*n=pn+q(p,q为常数,n∈N)?{an}是等差数列.
③中项公式法
2an+1=an+an+2(n∈N*
)?{an}是等差数列. ④前n项和公式法
Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)?{an}是等差数列.
(3)判断等比数列的常用方法 ①定义法
1
an+1*
=q(q是不为0的常数,n∈N)?{an}是等比数列. an②通项公式法
an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)?{an}是等比数列.
③中项公式法
*
a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N)?{an}是等比数列.
3.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.
(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列,利用错位相减法求和. (3)通项公式形如an=(其中a,b1,b2,c为常数)用裂项相消法求和.
?an+b1??an+b2?(4)通项公式形如an=(-1)·n或an=a·(-1)(其中a为常数,n∈N)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
(5)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. (6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求Sn.
nn*
c
1.已知数列的前n项和求an,易忽视n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事实上,当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
2.易混淆几何平均数与等比中项,正数a,b的等比中项是±ab.
3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=
Snn+1an,求时,无法正确赋值求解.
Tn2n+3bn4.易忽视等比数列中公比q≠0导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.
5.运用等比数列的前n项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
6.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项. 7.裂项相消法求和时,裂项前后的值要相等, 如
111
≠-,
n?n+2?nn+21?11?1
=?-?.
n?n+2?2?nn+2?
n而是8.通项中含有(-1)的数列求和时,要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.
2
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S13>0,S14<0,若ak·ak+1<0,则k等于( ) A.6 B.7 C.13 D.14 答案 B
解析 因为{an}为等差数列,S13=13a7,S14=7(a7+a8), 所以a7>0,a8<0,a7·a8<0,所以k=7.
2.已知在等比数列{an}中,a1+a2=3,a3+a4=12,则a5+a6等于( ) A.3 B.15 C.48 D.63 答案 C 解析
a3+a422
=q=4,所以a5+a6=(a3+a4)·q=48. a1+a2
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数
n的值为( )
A.6 C.12 答案 C
解析 ∵a1>0,a6a7<0,
∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零, 又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0, ∴S12>0,S13<0,
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12. 4.已知数列{an}满足31A.- 3C.-3 答案 C 解析 由已知3an+1an+1B.7 D.13
lg(=9·3an(n∈N)且a2+a4+a6=9,则o*
13aaa)5+7+9等于( )
B.3 1
D. 3
=9·3n=3naa+2,所以an+1=an+2,所以数列{an}是公差为2的等差数列,
a5+a7+a9=(a2+3d)+(a4+3d)+(a6+3d)
=(a2+a4+a6)+9d=9+9×2=27,
所以log1(a5+a7+a9)=log127=-3.故选C.
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