第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2
b与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
b2因为p－q＝a＋a2
解析：b－a－b＝（b－a）2（b＋a）ab≤0，所以p≤q.
答案：B
2．已知a，b都是正数，P＝a＋b
2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是( A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q
D．P≤Q
解析：因为a，b都是正数， 所以P＞0，Q＞0.
2
所以P2－Q2＝??a＋b??
2??－(a＋b)2＝－（a－b）
22≤0.
所以P2－Q2≤0.所以P≤Q. 答案：D
3．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列一定正确的是( A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a
D．ab≤c
)
) 1
（lg c）2
解析：因为logac·logbc＝＝4，
lg a·lg b所以lg2c＝4lg a·lg b≤(lg a＋lg b)2＝(lg ab)2. 又c＞1，a＞1，b＞1， 所以lg c≤lg ab，即c≤ab. 答案：B
4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5
与b5的大小关系为( )
A．a5＞b5 C．a5＝b5
B．a5＜b5 D．不确定
a23解析：由等比数列的性质知a5＝，由等差数列的性质知b5＝2b3－b1.又a1
a1
≠a3，
2
a2（a3－a1）2a23－2a3a1＋a13故a5－b5＝－2b3＋b1＝＝＞0.
a1a1a1
因此，a5＞b5. 答案：A
5．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q C．P＝Q
3
B．P＜Q D．大小不确定
2
a3＋1
解析：P－Q＝loga(a＋1)－loga(a＋1)＝loga2.当0＜a＜1时，0＜a3＋1
a＋1
3a＋12
＜a＋1，0＜2＜1，
a＋1
a3＋1
所以loga2＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，
a＋1a3＋1a3＋1
＞1，所以loga2＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故应选A. a2＋1a＋1
2
答案：A 二、填空题
112
6．若－1＜a＜b＜0，则，，a，b2中最小的是________．
ab111
解析：依题意，有＞，a2＞b2，故只需比较与b2的大小．
abb1
因为b2＞0，＜0，
b
1111所以＜b2.所以，，a2，b2中最小的是.
babb1答案：
b
7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，故a＝－2，1
b＝－不同时成立．
2
1
答案：a＝－2，b＝－不同时成立
2
?a＋b?1
?8．若0＜a＜b＜1，P＝log，Q＝(log1a＋log1b)，M＝log1 (a＋b)，
22?2?222
1?
则P，Q，M的大小关系是________．
a＋b
解析：因为0＜a＜b＜1，所以＞ab，
2
?a＋b?1
?＜log1ab＝log1 (ab)＝ 所以log
22
2?2?2
1?
a＋b111
(loga＋logb)，即P＜Q，又＜a＋b， 2222
a＋b所以log＞log1 (a＋b)，即P＞M，所以Q＞P＞M.
222
1
3