G(?,k)?1??(eikj?2?e?ikj)?(1?2?)??(eikj?e?ikj)
?(1?2?)?2?coskh?1?2?(1?coskh)kh|?12
hkkh??1?1?4?sin2?1?0?4?sin2?222G(?,k)|?|1?2?(1?coskh)|?|1?4?sin2因为k>0,h>0且??0，所以必然左边成立，则右边为
2?sin2khkh?1且sin2?122?2??1???1 2显然这个格式是相容的。它在??它是条件收敛的（收敛条件??1）。
21时稳定的，因为按照Lax定理可知；21.2 隐式差分格式
?2u?u我们可以对用向后差分，2用二阶差商，得到差分格式为：
?t?xn?1un?ujj???nnun?2*u?uj?1jj?1h2?0 (1.2.1)
1.2.1 隐式差分格式的截断误差
证：（用taylor展开）
?un?2?2un??1?u(x,t??t)?u(xj,tn)??[]j?[2]j,(0??1?1)
?t2!?tu?u(xj,tn) unjn?1junj?1unj?1?unh2?2unh3?3unh4?4un?u(x??x,t)?u(xj,tn)?h[]j?[]j?[]j?[]j??2?x2!?x23!?x34!?x4(0??2?1)?unh2?2unh3?3unh4?4un?u(x??x,t)?u(xj,tn)?h[]j?[]j?[]j?[]j??3?x2!?x23!?x34!?x4(0??3?1)把上述代入差分格式中，得截断误差为：
?un??2un??1?2unh2?4unh2?4unk(x,t)?[]j?[2]j??{[2]j?[4]j??2?[4]j??3}?t2?t?x24?x24?xnj 5
?un?2un??2un??1h2?4un?4un?{[]j??[2]j}?{[2]j??{[4]j??2?[4]j??3}}?t?x2?t24?x?x?o(??h2).(0??1,?2,?3?1)
??h2)，从上述可知，截断误差为kn它对时间方向为一阶截断误差， j(x,t)?o(而对空间为二阶截断误差。
1.2.2 隐式差分格式的稳定性
证:先用差分格式（1.2.1）为：
?1nnnnun?u??(u?2u?ujjj?1jj?1) 其中????h2
nikjh利用稳定性的Fourier方法令，un，并将它代入上式就得到 j?vevn?1eikjh?vneikjh??(eikj?2?e?ikj)vn
消去公因子有
vn?1?[1??(eikj?2?e?ikj)]vn?vn?由此得到增长因子
1??(eikj1n?1v ?ikj?2?e)G(?,k)?11?1??(eikj?2?e?ikj)(1?2?)??(eikj?e?ikj)
11??(1?2?)?2?coskh1?2?(1?coskh)11??1|1?2?(1?coskh)|1?4?sin2kh2kh??h?0,k?0,??0且0?sin2?12
2kh2kh?4?sin?0?1?4?sin?1221???1kh1?4?sin22显然这个格式是相容的。它是无条件稳定，因为按照Lax定理可知，该格式收敛的。 |G(?,k)|? 6
1.3 、 Crank-Nicolson格式
我们在在前面讨论的显格式和隐格式，即：
n?1unj?uj?1n?1?1un?unj?1?2ujj?1?n?1unj?uj??h2?0 （1.3.1）
???nnunj?1?2uj?uj?1h