yn?1?yn?h?f?xn,yn??f?xn?1,yn?1??2 (2.3)
(2.3)式称为梯形公式,此方法称为梯形法。
2.2本文格式的构造
下面我们考虑非齐次边界条件的热传导方程
??u?2u???0,a?x?b,t?0?2?t?x??a?x?b?u(x,0)?f(x),?u(a,t)?g1(t)t?0?t?0??u(b,t)?g2(t)（2.2.1）的右边对x变量 四阶紧致格式离散
(2.2.1)
?x2?2u?2??ui?o(h4)12?xh2(1??x)12 (2.2.2)
把(2.2.2)代入(2.2.1)后得到下面的常微分方程组
dui(t)12?1222 ?(1??x)?xui，令A??2(1?1?x),B??xdt1212hdui(t) ?A?1Bui?A?1C(t) (2.2.3)
dtU(t)?[u1(t),u2(t),...,um?2(t),um?1(t)]T,U(0)?[g(x1),g(x2),...,g(xm?2),g(xm?1)].C(t)?[（-T
1'?1'?u0(t)+(2)u0(t)），0，,0，（-uN(t)+(2)uN(t)）]' 12h12h
10
?5?6??1其中：A??12?????11256112112???21???1?2?B????，
?????5??6?11???? ??2???dU(t)?A?1BU(t)+A?1C(t),?应用梯形方法得到本文格式 ?dt??U(0)?U0un?1?(I??2A?1B)?1(I??1??A?1B)un?（I??A?1B)?1(A?1C(tn)?A?1C(tn?1)2222 （2.2.4）
2.3 稳定性分析
定理： 本文差分格式 （2.2.4）是绝对稳定的；
引理1 假设?i(i?1,2,...,m?1)为矩阵A?1B的特征值，xi(i?12,...,m?1)为其相应的是特征值向量，则特征值为实数且满足 ?i?0 证明：
?5?6??1令A??12??????111256112112???21???1?2?B????
?????5??6?11???? ??2??下面来看AB的特征值则：
令ABX??iX??iAX?BX两边乘X 写成矩阵形式?xAx?xBx
TT?1?T521521152x1?x1x2?x2?x2x3??xn?1xn?xn612612126521252121252222?x1?(x1?x2)?x2?(x2?x3)??(xn?x)?xn ?1n624624246192929292192?x1?x2?x3??xn?xn?0?12412121224xAx?T 11
T
22xBx??2x1?x1x2?2x2?x1x2?
2?x1x2?2xn2??2x1?12121222222(x1?x2)?2x2?(x2?x3)??(x2?x3)?2xn2225252222??x1?3x2?3x3??3xn?xn?1225252222??(x1?3x2?3x3??3xn?xn)?0?122
由此推出?s?0
下面来看un?1?2u的特征值：
1?1nI??AB2I?令 C?I??A?1B??2A?1B
I?2A?1B写成矩阵形式： un?1?Cun
I??i2则C的特征值为：?c?un 1I???i2它的谱半径 ?(c)?max?c?1
1?i?n?I?因此un?1?
?2u是绝对稳定的。 1?1nI?AB2A?1B 12
3数值实验
数值例子1
给出下面的常系数一维扩散方程初边值问题
??u?2ut?00?x?1??t???x2??x0?x?1 ?u(x,0)?e?u(0,t)?et;u(1,t)?e1?tt?0???该方程的准确解为u(x,t)?ex?t
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 最大误差
表一：h=0.1;tao=0.1;T=1，绝对误差比较 隐式格式 Crank-Nicolson格式 8.1239E-03 2.7358E-04 1.4847E-02 5.0077E-04 2.0079E-02 6.7709E-04 2.3696E-02 7.9890E-04 2.5545E-02 8.6123E-04 2.5433E-02 8.5770E-04 2.3127E-02 7.8039E-04 1.8348E-02 6.1935E-04 1.0768E-02 3.6229E-04 2.5545E-02 8.6123E-04
13
本文格式
1.3474E-04 2.4818E-04 3.3615E-04 3.9680E-04 4.2767E-04 4.2560E-04 3.8661E-04 3.0559E-04 1.7651E-04 4.2767E-04
h 1/4 1/8 1/16
?
1/10 1/20 1/40
表二：当?=0.001 , T=1;时不同空间步长的收敛界的比较 隐式格式 Crank-Nicolson格式 本文格式 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 2.9321e-003 2.6757e-003 8.3652e-006 9.3104e-004 1.6550 6.7288e-004 1.9915 4.8370e-007 4.1122 4.3004e-004 1.1144 1.6966e-004 2.0048 1.0174e-008 4.5712
表三:当h=0.005 ,w=1 T=1;是的不同空间步长的收敛界的比较 隐式格式 Crank-Nicolson格式 本文格式 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 最大误差 收敛阶 2.5355e-002 4.3558e-004 4.3448e-004 1.2863e-002 0.9790 1.0980e-004 1.9881 1.0871e-004 1.9988 6.4786e-003 0.9895 2.8270e-005 1.9575 2.7182e-005 1.9998
h=0.1;tao=0.1;T=1
14