2017全国各地中考数学压轴题汇编之二
1．(2017浙江杭州，23，12分)如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝ɑ，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ， ⑴点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ．．ɑ β γ 30° 120° 150° 40° 130° 140° 50° 140° 130° 60° 150° 120° 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明： ⑵若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长.
【分析】（1）根据表格数据可以直接得出①β＝a＋90°，②γ＝180°－a. 连接CG，由AG是直径得出∠ACG＝90°，利用DE垂直平分BC，可得出∠EBC＝∠ECB，∠BED＝∠CED. ①由同弧所对的圆周角相等，可得∠BAG＝∠BCG，由此得出β＝a＋90°；②∠ACG＝90°，DE⊥BC，可知，∠BCG＋∠BCE＝∠CED＋∠BCE，即∠BCG＝∠CED，进一步可以推出γ＝180°－a.（2）因为γ＝135°，所以a＝45°，β＝135°，可得出△ECB是等腰直角三角形，从而求出BE、CE的长，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，故AE：AC＝4：1，求出AB的长，连接BG，利用直角所对的圆周角等于90°，构建Rt△ABG，得出⊙O半径的长. 【解答】（1）结论如下：①β＝a＋90°，②γ＝180°－a.
连接CG，∵AG是直径，∴∠ACG＝90°，∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB，∠BED＝∠CED. ①β＝a＋90°的证明如下：
∵∠BAG＝∠BCG，∴β＝∠BCG＋∠ACG＝∠BAG＋∠ACG＝a＋90°，即β＝a＋90°. ②γ＝180°－a的证明如下：
∵∠ACG＝90°，DE⊥BC，∴∠BCG＝∠CED，∴∠BEC＝2a， ∴γ＝∠EAG＋∠EBA＝∠BAG＋∠EAB＋∠EBA ＝∠BAG＋（180°－∠BEC）＝180°－a.即γ＝180°－a.
（2）∵γ＝135°，∴a＝45°，β＝135°，∴∠ECB＝∠EBC＝45°，∴△ECB是等腰直角三角形，又∵CD＝3，∴BC＝6，∴CE＝BE＝32，∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴AE：AC＝4：1，∴AE＝42，在Rt△ABE中，AB＝AE2?BE2＝52， 连接BG，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，
在Rt△ABG中，∠BAG＝a＝45°，∴AG＝2AB＝10，∴⊙O半径的长为5.
2．(2017浙江湖州，24，12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C(m，0)是线段A B上一点(与 A，B点不重合)，抛物线L1：y＝ax2＋b1x＋c1(a＜0)经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y＝ax2＋b2x＋c2(a＜0)经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)若a＝－
1，m＝－1，求抛物线L1，L2的解析式； 2(2)若a＝－1，AF⊥BF，求m的值；
(3)是否存在这样的实数a(a＜0)，无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．【版权所有：21教育】
【分析】（1）把a、m代入得到已知点坐标，利用待定系数法求出函数解析式（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H,把a=?1代入函数解析式，然后结合
??4,0?，?m,0?代入求出函数解析式L1
，
然后分别求出D点坐标，得到DG,AG的长，同理得
到L2，再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解. （3）由（1）（2）的解答，直接写出答案.
?12??(?1)?b1?c1?0??22
【解答】解：(1)将A、C点带入y＝ax＋b1x＋c1中，可得：?，解得：
1???(?4)2?4b1?c1?0??25??b1??2， ???c1??2∴抛物线L1解析式为y＝－
125x－x－2； 22?13??(?1)2?b2?c2?0???2?b2?同理可得：?，解得：?2，
12???4?4b2?c2?0??c2?2??2∴抛物线L2解析式为y＝－
123x＋x＋2； 22(2)如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，