椭圆与双曲线常见题型归纳
一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型
例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,?3),(0,3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C,直线y?kx?1与C交于A,B两点。
????????C（Ⅰ）写出的方程; （Ⅱ）若OA?OB，求k的值。
例1. 解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，?3)，，(03)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b?22?(3)2?1，
y2?1． 故曲线C的方程为x?42?2y2?1，?x?（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足 ? 4?y?kx?1.?消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0， 故x1?x2??2k3，xx??． 12k2?4k2?4????????若OA?OB，即x1x2?y1y2?0． 而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1，
33k22k2???1?0， 于是x1x2?y1y2??2k?4k2?4k2?41化简得?4k2?1?0，所以k??．
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x2?y2?1的左、右焦点. 例2．设F1、F2分别是椭圆4?????????（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值;
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（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围 例2．解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3 所以F1?3,0,F2???3,0，设P?x,y?，则
??????????PF1?PF2??3?x,?y,???x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44?222?????????因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2 ?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1 解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???3,0，设P?x,y?，则
?????2?????2?????2???????????????????????????PF1?PF2?F1F2PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2? ?????????2PF1?PF2221?2?x?3?y?x?3?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）
???2?????（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y?kx?2??21?2y联立?x2，消去，整理得：?k??x?4kx?3?0 24????y?1?4∴x1?x2??4k1k2?4,x1?x2?31k2?4
331?2?由???4k??4?k???3?4k2?3?0得：k?或k??
224??????????又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0
00????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
?k2?1?8k2??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?
111k2?k2?k2?44423k2 2 / 11
?k2?1??0，即k2?4 ∴?2?k?2 ∵
11k2?k2?443故由①、②得?2?k??
33或?k?2 22x2?y2?1的左、右焦点，B(0,?1)． 例3． 设F1、F2分别是椭圆4?????????（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值; （Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且BF1??CF1，求?的值； （Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求?PBF1的周长的最大值.
例3．解：（Ⅰ）易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2?????????PF1?PF2??3?x,?y,???3,0,设P?x,y?,则
????x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44?222?????????x?0P因为x???2,2?，故当，即点为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2
?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值 1
3,（Ⅱ）设C（x0，y0），B(0,?1)F1?0?? 由BF??CF得
11x0?3(1??)?x02，又,y0???y02?1 所以有?41解得
?2?6??7?0???7(??1?0舍去)
（Ⅲ）因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴?PBF1周长≤4＋|BF2|＋|BF1|≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，?PBF1周长最大，最大值为8．
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