第二章 函数
第一节 函数的概念及其表示
题型10 映射与函数的概念
1.(2015浙江理7) 存在函数f(x)满足：对任意x?R都有( ). A. f(sin2x)?sinx B. f(sin2x)?x?x C. f(x?1)?x?1 D. f(x?2x)?x?1
1. 【试题解析】 本题考查函数的定义,即一个自变量只能对应一个函数值. 对A,取sin2x?0,则当x?0时,f?0??0；当x?222π时,f?0??1.所以A错； 2同理B错；对C,取x??1,f?2??2且f?2??0,所以C错.故选D.
2.(2018上海16)设D是含数1的有限实数集,f?x?是定义在D上的函数,若f?x?的图像绕原点逆时针旋转
π后与原图像重合,则在以下各项中,f?1?的可能取值只能是( ). 6(A)3
(B)
3 23 3(C)
(D)0
2.【试题解析】 设f?1?处的点为A1,若f?x?逆时针旋转
π后与原图重合,则旋转后的图像6g?x?上A1的对应点A2,同时有A2的对应点A3,以此类推,则f?x?对应的图像可以为一个
圆周上的12等分的12个点.当f?x?取值为3时,因为OA1与x轴正半轴夹角为60,其逆时
针旋转
π时形成的12个散点,如图所示,考虑对称性,在同一个x处可能同时存在2个f?x?6值,如A1和A9,因此不符合函数定义,故A项错误.同理C,D项亦不符合函数定义,故f?x?的可能取值只能是
3.故选B. 2 1
题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数【试题解析】式的求法
1. (2013陕西理10)设?x?表示不大于x的最大整数,则对任意实数x，y,有( ). A. ??x????x? B. ?2x??2?x?4 C. ?x?y?≤?x???y? D. ?x?y?≤?x???y?
2. (2014 湖北理14)设f?x?是定义在?0,???上的函数,且f?x??0,对任意a?0,b?0,若经过点a,f?a?,b,f?b?的直线与x轴的交点?c,0?,则称c为a,b关于函数f?x?的平均数,记为Mf?a,b?,例如,当f?x??1?x?0?时,可得Mf?a,b??c?为a,b的算术平均数.
当f?x??_____?x?0?时,Mf?a,b?为a,b的几何平均数； 当f?x??_____?x?0?时,Mf?a,b?为a,b的调和平均数(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
????a?b,即Mf?a,b?22ab； a?b 2
3. (2014 陕西理 10)如图所示,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的【试题解析】式为( ).
y25-5O-2Ax地面隧道
133234x?x B. y?x?x 1255125533331x?x D. y??x?x C. y?1251255A.y?4.(2015全国II理5)设函数f?x???( ).
??1?log2?2?x?,x?1,则f??2??f?log212??
x?11??2,x…A.3 B.6 C.9 D.12
4. 【试题解析】 由题意可得,f(?2)?1?log24?1?2?3.又由log212?log22?1, 故有f(log212)?2log212?1?2log212?log22?2log2122?2log26?6,
所以有f(?2)?f(log212)?3?6?9.故选C.
5.(2016上海理5)已知点?3,9?在函数f?x??1?a的图像上,则f?x?的反函数
xf?1?x?? .
x5. log2?x?1? 【试题解析】 由题意a3?1?9.故a?2,从而f?x??1?2, ?1所以x?log2?y?1?.故f?x??log2?x?1?.
题型13 函数定义域的求解 1. (2013江西理2)函数y?xln(1?x)的定义域为( ).
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
2.(2013江苏理11)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x?0时,f(x)?x?4x,则不等式
2f(x)?x的解集用区间表示为 .
3. (2013安徽理17)设函数f?x??ax?1?a2x2,其中a>0,区间I?xf?x?>0. (1)求I的长度(注：区间??，??的长度定义为???)；
???? 3