平面几何:有关三角形五心的经典试?/p>
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心
.
一、外?/p>
.
三角形外接圆的圆心,简称外?/p>
.
与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角
定理
.
?/p>
1
.过等腰?/p>
ABC
底边
BC
上一?/p>
P
?/p>
PM
?/p>
CA
?/p>
AB
?/p>
M
;引
PN
?/p>
BA
?
AC
?/p>
N
.
作点
P
关于
MN
的对称点
P
?/p>
.
试证?/p>
P
′点在△
ABC
外接圆上
.
(
杭州大学《中学数学竞赛习题?/p>
)
分析:由已知可得
MP
?/p>
=
MP
=
MB
?/p>
NP
?/p>
=
NP
=
NC
,故?/p>
M
是△
P
?/p>
BP
的外心,?/p>
N
是△
P
?/p>
PC
的外?/p>
.
?/p>
?/p>
BP
?/p>
P
=
2
1
?/p>
BMP
=
2
1
?/p>
BAC
?/p>
?/p>
PP
?/p>
C
=
2
1
?/p>
PNC
=
2
1
?/p>
BAC
.
∴∠
BP
?/p>
C
=
?/p>
BP
?/p>
P
+
?/p>
P
?/p>
PC
=
?/p>
BAC
.
从而,
P
′点?/p>
A
?/p>
B
?/p>
C
共圆、即
P
′在?/p>
ABC
外接圆上
.
由于
P
?/p>
P
平分?/p>
BP
?/p>
C
,显然还?/p>
P
?/p>
B
:
P
?/p>
C
=
BP
:
PC
.
?/p>
2
.在?/p>
ABC
的边
AB
?/p>
BC
?/p>
CA
上分别取?/p>
P
?/p>
Q
?/p>
S
.
证明以△
APS
,△
BQP
?
?/p>
CSQ
的外心为顶点的三角形与△
ABC
相似
.
(
B
·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克?/p>
)
分析:设
O
1
?/p>
O
2
?/p>
O
3
是△
APS
,△
BQP
?/p>
?/p>
CSQ
的外心,作出六边?/p>
O
1
PO
2
QO
3
S
后再由外
心性质可知
?/p>
PO
1
S
=2
?/p>
A
?/p>
?/p>
QO
2
P
=2
?/p>
B
?/p>
?/p>
SO
3
Q
=2
?/p>
C
.
∴∠
PO
1
S
+
?/p>
QO
2
P
+
?/p>
SO
3
Q
=360
°
.
从而又知∠
O
1
PO
2
+
?/p>
O
2
QO
3
+
?/p>
O
3
SO
1
=360
°
将△
O
2
QO
3
绕着
O
3
点旋转到?/p>
KSO
3
,易判断?/p>
KSO
1
≌△
O
2
PO
1
,同时可
得△
O
1
O
2
O
3
≌△
O
1
KO
3
.
∴∠
O
2
O
1
O
3
=
?/p>
KO
1
O
3
=
2
1
?/p>
O
2
O
1
K
=
2
1
(
?/p>
O
2
O
1
S
+
?/p>
SO
1
K
)
=
2
1
(
?/p>
O
2
O
1
S
+
?/p>
PO
1
O
2
)
=
2
1
?/p>
PO
1
S
=
?/p>
A
?/p>
同理有∠
O
1
O
2
O
3
=
?/p>
B
.
故△
O
1
O
2
O
3
∽△
ABC
.
A
B
C
P
P
M
N
'
A
B
C
Q
K
P
O
O
O
.
.
.
.
S
1
2
3