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平面几何:有关三角形五心的经典试?/p>

 

 

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心

. 

一、外?/p>

. 

三角形外接圆的圆心,简称外?/p>

.

与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角

定理

. 

?/p>

1

.过等腰?/p>

ABC

底边

BC

上一?/p>

P

?/p>

PM

?/p>

CA

?/p>

AB

?/p>

M

;引

PN

?/p>

BA

?

AC

?/p>

N

.

作点

P

关于

MN

的对称点

P

?/p>

.

试证?/p>

P

′点在△

ABC

外接圆上

. 

(

杭州大学《中学数学竞赛习题?/p>

) 

分析:由已知可得

MP

?/p>

=

MP

=

MB

?/p>

NP

?/p>

=

NP 

=

NC

,故?/p>

M

是△

P

?/p>

BP

的外心,?/p>

 

N

是△

P

?/p>

PC

的外?/p>

.

?/p>

 

      

?/p>

BP

?/p>

P

=

2

1

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BMP

=

2

1

?/p>

BAC

?/p>

 

      

?/p>

PP

?/p>

C

=

2

1

?/p>

PNC

=

2

1

?/p>

BAC

. 

      

∴∠

BP

?/p>

C

=

?/p>

BP

?/p>

P

+

?/p>

P

?/p>

PC

=

?/p>

BAC

. 

      

从而,

P

′点?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

共圆、即

P

′在?/p>

ABC

外接圆上

. 

      

由于

P

?/p>

P

平分?/p>

BP

?/p>

C

,显然还?/p>

 

      

P

?/p>

B

:

P

?/p>

C

=

BP

:

PC

. 

?/p>

2

.在?/p>

ABC

的边

AB

?/p>

BC

?/p>

CA

上分别取?/p>

P

?/p>

Q

?/p>

S

.

证明以△

APS

,△

BQP

?

?/p>

CSQ

的外心为顶点的三角形与△

ABC

相似

. 

      (

B

·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克?/p>

) 

分析:设

O

1

?/p>

O

2

?/p>

O

3

是△

APS

,△

BQP

?/p>

 

?/p>

CSQ

的外心,作出六边?/p>

 

O

1

PO

2

QO

3

S

后再由外

 

心性质可知

 

      

?/p>

PO

1

S

=2

?/p>

A

?/p>

 

      

?/p>

QO

2

P

=2

?/p>

B

?/p>

 

      

?/p>

SO

3

Q

=2

?/p>

C

. 

      

∴∠

PO

1

S

+

?/p>

QO

2

P

+

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SO

3

Q

=360

°

.

从而又知∠

O

1

PO

2

+ 

?/p>

O

2

QO

3

+

?/p>

O

3

SO

1

=360

°

 

      

将△

O

2

QO

3

绕着

O

3

点旋转到?/p>

KSO

3

,易判断?/p>

KSO

1

≌△

O

2

PO

1

,同时可

得△

O

1

O

2

O

3

≌△

O

1

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3

. 

      

∴∠

O

2

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O

3

=

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KO

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3

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O

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              =

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(

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K

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              =

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+

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PO

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              =

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PO

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S

=

?/p>

A

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同理有∠

O

1

O

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3

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B

.

故△

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1

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2

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3

∽△

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. 

A

B

C

P

P

M

N

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A

B

C

Q

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P

O

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O

.

.

.

.

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平面几何:有关三角形五心的经典试?/p>

 

 

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心

. 

一、外?/p>

. 

三角形外接圆的圆心,简称外?/p>

.

与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角

定理

. 

?/p>

1

.过等腰?/p>

ABC

底边

BC

上一?/p>

P

?/p>

PM

?/p>

CA

?/p>

AB

?/p>

M

;引

PN

?/p>

BA

?

AC

?/p>

N

.

作点

P

关于

MN

的对称点

P

?/p>

.

试证?/p>

P

′点在△

ABC

外接圆上

. 

(

杭州大学《中学数学竞赛习题?/p>

) 

分析:由已知可得

MP

?/p>

=

MP

=

MB

?/p>

NP

?/p>

=

NP 

=

NC

,故?/p>

M

是△

P

?/p>

BP

的外心,?/p>

 

N

是△

P

?/p>

PC

的外?/p>

.

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BP

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P

=

2

1

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=

2

1

?/p>

BAC

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?/p>

PP

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C

=

2

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PNC

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2

1

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BAC

. 

      

∴∠

BP

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C

=

?/p>

BP

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P

+

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P

?/p>

PC

=

?/p>

BAC

. 

      

从而,

P

′点?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

共圆、即

P

′在?/p>

ABC

外接圆上

. 

      

由于

P

?/p>

P

平分?/p>

BP

?/p>

C

,显然还?/p>

 

      

P

?/p>

B

:

P

?/p>

C

=

BP

:

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. 

?/p>

2

.在?/p>

ABC

的边

AB

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BC

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CA

上分别取?/p>

P

?/p>

Q

?/p>

S

.

证明以△

APS

,△

BQP

?

?/p>

CSQ

的外心为顶点的三角形与△

ABC

相似

. 

      (

B

·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克?/p>

) 

分析:设

O

1

?/p>

O

2

?/p>

O

3

是△

APS

,△

BQP

?/p>

 

?/p>

CSQ

的外心,作出六边?/p>

 

O

1

PO

2

QO

3

S

后再由外

 

心性质可知

 

      

?/p>

PO

1

S

=2

?/p>

A

?/p>

 

      

?/p>

QO

2

P

=2

?/p>

B

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SO

3

Q

=2

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C

. 

      

∴∠

PO

1

S

+

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QO

2

P

+

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SO

3

Q

=360

°

.

从而又知∠

O

1

PO

2

+ 

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O

2

QO

3

+

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O

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SO

1

=360

°

 

      

将△

O

2

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3

绕着

O

3

点旋转到?/p>

KSO

3

,易判断?/p>

KSO

1

≌△

O

2

PO

1

,同时可

得△

O

1

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2

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3

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1

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3

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∴∠

O

2

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              =

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(

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              =

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              =

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A

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同理有∠

O

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3

=

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B

.

故△

O

1

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2

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3

∽△

ABC

. 

A

B

C

P

P

M

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A

B

C

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P

O

O

O

.

.

.

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平面几何:有关三角形五心的经典试?/p>

 

 

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心

. 

一、外?/p>

. 

三角形外接圆的圆心,简称外?/p>

.

与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角

定理

. 

?/p>

1

.过等腰?/p>

ABC

底边

BC

上一?/p>

P

?/p>

PM

?/p>

CA

?/p>

AB

?/p>

M

;引

PN

?/p>

BA

?

AC

?/p>

N

.

作点

P

关于

MN

的对称点

P

?/p>

.

试证?/p>

P

′点在△

ABC

外接圆上

. 

(

杭州大学《中学数学竞赛习题?/p>

) 

分析:由已知可得

MP

?/p>

=

MP

=

MB

?/p>

NP

?/p>

=

NP 

=

NC

,故?/p>

M

是△

P

?/p>

BP

的外心,?/p>

 

N

是△

P

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PC

的外?/p>

.

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BP

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P

=

2

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BMP

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2

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BAC

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PP

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C

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2

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PNC

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2

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BAC

. 

      

∴∠

BP

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C

=

?/p>

BP

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P

+

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P

?/p>

PC

=

?/p>

BAC

. 

      

从而,

P

′点?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

共圆、即

P

′在?/p>

ABC

外接圆上

. 

      

由于

P

?/p>

P

平分?/p>

BP

?/p>

C

,显然还?/p>

 

      

P

?/p>

B

:

P

?/p>

C

=

BP

:

PC

. 

?/p>

2

.在?/p>

ABC

的边

AB

?/p>

BC

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CA

上分别取?/p>

P

?/p>

Q

?/p>

S

.

证明以△

APS

,△

BQP

?

?/p>

CSQ

的外心为顶点的三角形与△

ABC

相似

. 

      (

B

·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克?/p>

) 

分析:设

O

1

?/p>

O

2

?/p>

O

3

是△

APS

,△

BQP

?/p>

 

?/p>

CSQ

的外心,作出六边?/p>

 

O

1

PO

2

QO

3

S

后再由外

 

心性质可知

 

      

?/p>

PO

1

S

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A

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?/p>

QO

2

P

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B

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SO

3

Q

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C

. 

      

∴∠

PO

1

S

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QO

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3

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=360

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.

从而又知∠

O

1

PO

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+ 

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2

QO

3

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O

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=360

°

 

      

将△

O

2

QO

3

绕着

O

3

点旋转到?/p>

KSO

3

,易判断?/p>

KSO

1

≌△

O

2

PO

1

,同时可

得△

O

1

O

2

O

3

≌△

O

1

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. 

      

∴∠

O

2

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O

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KO

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PO

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A

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同理有∠

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3

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B

.

故△

O

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∽△

ABC

. 

A

B

C

P

P

M

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B

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.

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平面几何:有关三角形五心的经典考题及证?(中考提分助? - 百度文库
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平面几何:有关三角形五心的经典试?/p>

 

 

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心

. 

一、外?/p>

. 

三角形外接圆的圆心,简称外?/p>

.

与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角

定理

. 

?/p>

1

.过等腰?/p>

ABC

底边

BC

上一?/p>

P

?/p>

PM

?/p>

CA

?/p>

AB

?/p>

M

;引

PN

?/p>

BA

?

AC

?/p>

N

.

作点

P

关于

MN

的对称点

P

?/p>

.

试证?/p>

P

′点在△

ABC

外接圆上

. 

(

杭州大学《中学数学竞赛习题?/p>

) 

分析:由已知可得

MP

?/p>

=

MP

=

MB

?/p>

NP

?/p>

=

NP 

=

NC

,故?/p>

M

是△

P

?/p>

BP

的外心,?/p>

 

N

是△

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PC

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.

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PP

?/p>

C

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2

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PNC

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2

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?/p>

BAC

. 

      

∴∠

BP

?/p>

C

=

?/p>

BP

?/p>

P

+

?/p>

P

?/p>

PC

=

?/p>

BAC

. 

      

从而,

P

′点?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

共圆、即

P

′在?/p>

ABC

外接圆上

. 

      

由于

P

?/p>

P

平分?/p>

BP

?/p>

C

,显然还?/p>

 

      

P

?/p>

B

:

P

?/p>

C

=

BP

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PC

. 

?/p>

2

.在?/p>

ABC

的边

AB

?/p>

BC

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CA

上分别取?/p>

P

?/p>

Q

?/p>

S

.

证明以△

APS

,△

BQP

?

?/p>

CSQ

的外心为顶点的三角形与△

ABC

相似

. 

      (

B

·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克?/p>

) 

分析:设

O

1

?/p>

O

2

?/p>

O

3

是△

APS

,△

BQP

?/p>

 

?/p>

CSQ

的外心,作出六边?/p>

 

O

1

PO

2

QO

3

S

后再由外

 

心性质可知

 

      

?/p>

PO

1

S

=2

?/p>

A

?/p>

 

      

?/p>

QO

2

P

=2

?/p>

B

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?/p>

SO

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Q

=2

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C

. 

      

∴∠

PO

1

S

+

?/p>

QO

2

P

+

?/p>

SO

3

Q

=360

°

.

从而又知∠

O

1

PO

2

+ 

?/p>

O

2

QO

3

+

?/p>

O

3

SO

1

=360

°

 

      

将△

O

2

QO

3

绕着

O

3

点旋转到?/p>

KSO

3

,易判断?/p>

KSO

1

≌△

O

2

PO

1

,同时可

得△

O

1

O

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O

3

≌△

O

1

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. 

      

∴∠

O

2

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同理有∠

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B

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P

M

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