专题
27
数形结合
阅读与思?/p>
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式,简单地说就是“数”与“形?/p>
,对现实世界
的事物,我们既可以从“数”的角度来研究,也可以从“形”的角度来探讨,我们在研究“数”的性质
时,离不开“形?/p>
;而在探讨“形”的性质时,也可以借助于“数?/p>
.我们把这种由数量关系来研究图形
性质,或由图形的性质来探讨数量关系,即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作
数形结合思想
.
数形结合有下列若干途径?/p>
1
.借助于平面直角坐标系解代数问题;
2
.借助于图形、图表解代数问题?/p>
3
.借助于方程(组)或不等式(组)解几何问题?/p>
4
.借助于函数解几何问题
.
现代心理学表明:人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能;右半球主要具
有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能.要有效地获得知识,则需?/p>
两个半球的协同工作,数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功?/p>
.
代数表达及其运算,全面、精确、入微,克服了几何直观的许多局限性,正因为如此,笛卡尔创?/p>
了解析几何,用代数方法统一处理几何问题.从而成为现代数学的先驱.几何问题代数化乃是数学的一
大进步.
例题与求?/p>
【例
l
?/p>
?/p>
13
4
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
x
x
x
x
y
,则
y
的最小值为
___________.
(罗马尼亚竞赛试题)
解题思路
:若想求出被开方式的最小值,则顾此失彼.
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
9
2
1
1
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
x
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
2
2
3
0
2
1
0
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
,于是问题转化为:在
x
轴上求一?/p>
C
(
x
?/p>
0)
,使它到?
?/p>
A
(-
1
?/p>
1
)和
B
(2
?/p>
3)
的距离之和(?/p>
CA
?/p>
CB
)最?/p>
.
【例
2
?/p>
直角三角形的两条直角边之长为整数,它的周长是
x
厘米,面积是
x
平方厘米,这样的直角?/p>
角形
(
)
A
.不存在
B
.至?/p>
1
?/p>
C
.有
4
?/p>
D
.有
2
?/p>
(黄冈市竞赛试题?/p>
解题思路
?/p>
由题意可得若干关系式?/p>
若此关系式无解,
则可推知满足题设要求的直角三角形不存在;
若此关系式有解,则可推知这样的直角三角形存在,且根据解的个数,可确定此直角三角形的个数.