1
专题
3
:截长补短法
【典例引领?/p>
例题:(
2013
黑龙江龙东地区)正方?/p>
ABCD
的顶?/p>
A
在直?/p>
MN
上,?/p>
O
是对角线
AC
?/p>
BD
的交点,
过点
O
?/p>
OE
?/p>
MN
于点
E
,过?/p>
B
?/p>
BF
?/p>
MN
于点
F
?/p>
?/p>
1
)如?/p>
1
,点
O
?/p>
B
两点均在直线
MN
上方时,易证?/p>
AF+BF=2OE
(不需证明?/p>
?/p>
2
?/p>
当正方形
ABCD
绕点
A
顺时针旋转至?/p>
2
?/p>
?/p>
3
的位置时?/p>
线段
AF
?/p>
BF
?/p>
OE
之间又有怎样的关系?
请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明?/p>


【答案】图
2
结论?/p>
AF
?/p>
BF=2OE
,图
3
结论?/p>
BF
-
AF=2OE
【分析?/p>
?/p>
1
?/p>
过点
B
?/p>
BG
?/p>
OE
?/p>
G
?/p>
可得四边?/p>
BGEF
是矩形,
根据矩形的对边相等可?/p>
EF=BG
?/p>
BF=GE
?/p>
根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得
OA=OB
,∠
AOB=90°
,再根据同角的余角相等求出∠
AOE=
?/p>
OBG
?/p>
然后利用
?/p>
角角?/p>
?/p>
证明
?/p>
AOE
?/p>
?/p>
OBG
全等?/p>
根据全等三角形对应边相等可得
OG=AE
?/p>
OE=BG
?/p>
再根?/p>
AF
?/p>
EF=AE
,整理即可得证;
?/p>
2
)选择?/p>
2
,过?/p>
B
?/p>
BG
?/p>
OE
?/p>
OE
的延长线?/p>
G
,可得四边形
BGEF
是矩形,根据矩形的对边相等可?/p>
EF=BG
?/p>
BF=GE
,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可?/p>
OA=OB
?/p>
?/p>
AOB=90°
?/p>
再根据同角的余角相等求出?/p>
AOE=
?/p>
OBG
?/p>
然后利用
?/p>
角角?/p>
?/p>
证明
?/p>
AOE
?/p>
?/p>
OBG
全等,根据全等三角形对应边相等可?/p>
OG=AE
?/p>
OE=BG
,再根据
AF
?/p>
EF=AE
,整理即可得证;选择?/p>
3
同理可证?/p>
【解答】(
1
)证明:如图?/p>
过点
B
?/p>
BG
?/p>
OE
?/p>
G
?/p>