初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答æ¡?/p>
第一ç«?/p>
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1
添加元素法和构造法,自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添åŠ?/p>
0
到扩大的自然数集ï¼?/p>
再添加负数到整数集;
实数扩充到复数可以看成是在实数的
基础上构造虚数单ä½?/p>
i
满足
1
2
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i
,和有序实数å¯?/p>
)
,
(
b
a
一起组成一个复æ•?
bi
a
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.
2
(略ï¼?/p>
3
从数的起源至今,总共经历了五次扩充:
为了保证在自然数集中除法的封闭性,åƒ?/p>
b
ax
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的方程有解,这样,正分数
就应运而生了,这是数的概念的第一次扩展,数就扩展为正有理数集
.
公元六世纪,
印度数学家开始用符号
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0
�/p>
表示é›?/p>
.
这是数的概念的第二次æ‰?/p>
充,自然数、零和正分数合在一起组成算术数é›?/p>
.
为了表示具有相反意义的量ï¼?/p>
引入了负æ•?/p>
.
并且直到
17
世纪才对负数有一ä¸?/p>
完整的认识,这是数的概念的第三次扩充,此时,数的概念就扩展为有理数集
.
直到
19
世纪下半叶,才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力
下构建了严格的实数理è®?/p>
.
这是数的概念的第四次扩充,形成了实数é›?/p>
.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进,并在进一步的发展中加以运ç”?/p>
.
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是数学概念的第五次扩充,引进虚数,形成复数集
.
4
证明:设集合
D
C
B
A
,
,
,
两两没有公共元素
d
c
b
a
,
,
,
分别是非空有限集
D
C
B
A
,
,
,
的基数,根据定义,若
b
a
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,则存在非空有限é›?/p>
'
A
,使å¾?/p>
B
A
A
~
'
�/p>
;若
d
c
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从而必存在非空有限é›?/p>
'
C
,使å¾?/p>
D
C
C
~
'
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,所ä»?/p>
)
(
C
A
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)
(
D
B
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所以集å�?
C
A
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的基æ•?/p>
c
a
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大于集合
D
B
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的基æ•?/p>
d
b
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,所ä»?/p>
d
b
c
a
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.
5
ï¼?/p>
1
)解:按照自然数序数理论加法定义ï¼?/p>
ï¼?/p>
2
)解:按照自然数序数理论乘法定义
6
证明ï¼?/p>
ï‚?/p>
1
å½?/p>
2
�/p>
n
时,命题成立
.
(反证法ï¼?/p>