17
世界后牛?/p>
,
拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公?/p>
.
在近?/p>
,
插值法仍然
是数据处理和编制函数表的常用工具?/p>
又是数值积分?/p>
数值微分?/p>
非线性方程求根和微分?/p>
程数值解法的重要基础
,
许多求解计算公式都是以插值为基础导出的?/p>
三种插值方法的比较?/p>
拉格朗日插值、分段线性插值与三次样条插值三种插值法在处理问题时的比较?/p>
插值问题的提法是:已知
f(x)(
可能未知或非常复杂函?/p>
)
在彼此不同的
n+1
个实?/p>
0
x
,
1
x
,
?/p>
n
x
处的函数值是
f(
0
x
)
?/p>
f(
1
x
)
,…,
f(
n
x
)
,这时我们简单的?/p>
f(x)
?/p>
n+1
个离?
数据对{
?/p>
i
x
?/p>
i
y
?/p>
?/p>
i
n
?/p>
0
.要估算
f(x)
在其它点x处的函数值,最常见的一种办法就
是插值,
即寻找一个相对简单的函数
y(x)
?/p>
使其满足下列插值条件:
y (
i
x
)
?/p>
f (
i
x
)
?/p>
i=0
?/p>
1
?/p>
…,
n
.并?/p>
y (x)
作为
f (x)
的近似值.其中
y (x)
称为插值函数,
f (x)
称为被插函数?/p>
[1,2,3]
选用
不同类型的插值函数,逼近的效果不同,下面给出拉格朗日多项式插值?/p>
分段线性插值及
三次样条插值在处理问题时的应用比较分析?/p>
多项式插值是最常见的一种函数插值.
在一般插值问题中?/p>
由插值条件可以唯一确定一
个次数不超过n的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为:已知平面?/p>
n+1
?/p>
不同点,
要寻找一条次数不超过n的多项式曲线通过这些点.
插值多项式一般有两种常见?/p>
表达形式,一个是拉格朗日
(Lagrange)
插值多项式,另一个是牛顿
(Newton)
插值多项式.且
Lagrange插值公式恒等于Newton插值公式.
分段线性插值与三次样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现?/p>
(
龙格?/p>
?/p>
)
,在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度,比如可用分线性插值或分段?/p>
次埃尔米特插值来逼近已知函数?/p>
但它们的总体光滑性较差.
为了克服这一缺点?/p>
一种全局
化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具?/p>
所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值基点作线性插值,即可得分段线性插值函
数。特点:插值函数序列具有一致收敛性,克服了高次Lagrange插值方法的缺点?/p>
故可通过增加插值基点的方法提高其插值精度.
但存在基点处不光滑?/p>
插值精度低的缺点.
?/p>
几何上看所谓分段线性插值就是通过插值基点用折线段连接起来逼近原曲线,
这也是计算机
绘制图形的基本原?/p>
.