空间向量及其运算
基础知识梳理
1.
空间向量的有关概?/p>
(1)
空间向量:在空间中,具有
________
?/p>
________
的量叫做空间向量
.
(2)
相等向量:方?/p>
________
且模
________
的向?/p>
.
(3)
共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相
______________
的向?/p>
.
(4)
共面向量?/p>
________________________________
的向?/p>
.
2.
共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)
共线向量定理
对空间任意两个向?/p>
a
?/p>
b
(
b
?/p>
0)
?/p>
a
?/p>
b
的充要条件是
________________________.
推论
如图所示,?/p>
P
?/p>
l
上的充要条件是:
OP
?/p>
?/p>
OA
?/p>
?/p>
t
a
①其?/p>
a
叫直?/p>
l
的方向向量,
t
?/p>
R
,在
l
上取
AB
?
?/p>
a
?/p>
则①可化?/p>
OP
?/p>
?/p>
________
?/p>
OP
?/p>
?/p>
(1
?/p>
t
)
OA
?/p>
?/p>
tOB
?
.
(2)
共面向量定理的向量表达式?/p>
p
?/p>
____________
?/p>
其中
x
?/p>
y
?/p>
R
?/p>
a
?
b
为不共线向量?/p>
推论的表达式?/p>
MP
?/p>
?/p>
xMA
?/p>
?/p>
yMB
?
或对空间任意一?
O
,有
OP
?/p>
?/p>
____________
?/p>
OP
?/p>
?/p>
xOM
?/p>
?/p>
yOA
?/p>
?/p>
zOB
?
,其?/p>
x
?/p>
y
?/p>
z
?/p>
______.
(3)
空间向量基本定理
如果三个向量
a
?/p>
b
?/p>
c
不共面,那么对空间任一向量
p
,存在有序实数组
{
x
?/p>
y
?/p>
z
}
?/p>
使得
p
?/p>
____________
,把
{
a
?/p>
b
?/p>
c
}
叫做空间的一个基?/p>
.
3.
空间向量的数量积及运算律
(1)
数量积及相关概念
①两向量的夹?/p>
已知两个非零向量
a
?/p>
b
,在空间任取一?/p>
O
,作
OA
?/p>
?/p>
a
?/p>
OB
?
?/p>
b
,则?/p>
AOB
叫做?
?/p>
a
?/p>
b
的夹角,记作
____________
,其范围?/p>
____________
,若?/p>
a
?/p>
b
〉=
π
2
,则
?/p>
a
?/p>
b
__________
,记?/p>
a
?/p>
b
.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量
a
?/p>
b
?/p>
?/p>
____________
叫做向量
a
?/p>
b
的数量积?/p>
记作
__________
?/p>
?/p>
__________________.
(2)
空间向量数量积的运算?/p>
①结合律?/p>
(
λ
a
)·
b
?/p>
____________
;②交换律:
a·
b
?/p>
__________
?/p>
③分配律?/p>
a·
(
b
?/p>
c
)
?/p>
__________.
4.
空间向量的坐标表示及应用
(1)
数量积的坐标运算
?/p>
a
?/p>
(
a
1
?/p>
a
2
?/p>
a
3
)
?/p>
b
?/p>
(
b
1
?/p>
b
2
?/p>
b
3
)
,则
a·
b
?/p>
________________.
(2)
共线与垂直的坐标表示
?/p>
a
?/p>
(
a
1
?/p>
a
2
?/p>
a
3
)
?/p>
b
?/p>
(
b
1
?/p>
b
2
?/p>
b
3
)
?/p>
?/p>
a
?/p>
b
?/p>
______________
?/p>
____________
?/p>
____________
?/p>
______________
?/p>
a
?/p>
b
?/p>
__________
?/p>
________________________(
a
?/p>
b
均为非零向量
).
(3)
模、夹角和距离公式
?/p>
a
?/p>
(
a
1
?/p>
a
2
?/p>
a
3
)
?/p>
b
?/p>
(
b
1
?/p>
b
2
?/p>
b
3
)
?/p>
?/p>
|
a
|
?/p>
a·
a
?/p>
__________________
?/p>