?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
卷(
A
卷)
2010
?/p>
2011
学年
第二学期
课程名称:线性代?/p>
(共
2
页)
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄?/p>
一?/p>
(15
?/p>
)
设三阶矩?/p>
?/p>
?/p>
3
2
1
,
,
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
A
?/p>
?/p>
?/p>
3
3
2
3
2
1
4
,
3
,
3
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
B
?/p>
?/p>
A
的行列式
1
|
|
?/p>
A
,求矩阵
B
的行列式
|
|
B
.
?/p>
因为
?/p>
?/p>
3
3
2
3
2
1
4
,
3
,
3
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
B
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
4
1
3
0
3
1
0
0
2
)
,
,
(
3
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所以,
24
4
1
3
0
3
1
0
0
2
|
|
|
|
?/p>
?/p>
?/p>
A
B
二?/p>
(20
?/p>
)
设向量组
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
1
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
a
2
1
3
?/p>
线性相关,向量
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
b
1
3
?/p>
可由向量?/p>
3
2
1
,
,
?/p>
?/p>
?/p>
线性表示,?/p>
b
a
,
的值?/p>
?/p>
由于
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
b
a
1
2
1
2
1
1
3
1
2
1
)
,
,
,
(
3
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
6
2
3
0
4
3
3
0
3
1
2
1
b
a
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
0
0
4
3
3
0
3
1
2
1
b
a
所以,
.
2
,
1
?/p>
?/p>
?/p>
b
a
?/p>
(15
?/p>
)
证明所有二阶实对称矩阵组成的集?/p>
V
?/p>
R
2
?
2
的子空间,试?/p>
V
上定义内积运算,?/p>
V
成为欧几里得空间,并给出
V
的一组正交基
.
?/p>
由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵?/p>
数乘二阶实对称矩阵还?/p>
二阶实对称矩阵,?/p>
V
对线性运算封闭,所?/p>
V
?/p>
R
2
?
2
的子空间?/p>
对任?/p>
V
b
b
b
b
B
a
a
a
a
A
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
22
12
12
11
22
12
12
11
,
,
定义内积?/p>
[A,B]=
22
22
12
12
11
11
b
a
b
a
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
显然满足?/p>
[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]
?/p>
0
?/p>
[A,A]=0
当且仅当
A=0.
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
0
0
1
1
A
,
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
1
1
0
2
A
,
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
0
0
0
3
A
就是
V
的一组正交基
.
注:内积和正交基都是不唯一?/p>
.
2
?/p>
1
总分
一
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
?
?
?/p>
?
?
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?