一、概?/p>
在处理信息时?/p>
当两个变量之间有一定相关关系时?/p>
可以解释为这两个变量
反映此课题的信息有一定的重叠?/p>
例如?/p>
高校科研状况评价中的立项课题数与?/p>
目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性;学生综合评价研究中的专业?/p>
础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变?/p>
之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍?/p>
为了解决这些问题,最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数,但这
必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此,人们希望探索一?/p>
更为有效的解决方法,它既能大大减少参与数据建模的变量个数,同时也不会
造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数,并已
得到广泛应用的分析方法?/p>
主成分分析以最少的信息丢失为前提,
将众多的原有变量综合成较少几个综
合指标,通常综合指标(主成分?/p>
有以下几个特点:
?/p>
主成分个数远远少于原有变量的个数
原有变量综合成少数几个因子之后,因子将可以替代原有变量参与数据建
模,这将大大减少分析过程中的计算工作量?/p>
?/p>
主成分能够反映原有变量的绝大部分信息
因子并不是原有变量的简单取舍,
而是原有变量重组后的结果
?/p>
因此不会?/p>
成原有变量信息的大量丢失,并能够代表原有变量的绝大部分信息?/p>
?/p>
主成分之间应该互不相?/p>
通过主成分分析得出的新的综合指标
(主成分?/p>
之间互不相关
?/p>
因子参与?/p>
据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多?/p>
题?/p>
?/p>
主成分具有命名解释?/p>
总之,主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成
少数几个因子,如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法
?/p>
二、基本原?/p>
主成分分析是数学上对数据降维的一种方法?/p>
其基本思想是设法将原来众多
的具有一定相关性的指标
X1
?/p>
X2
,…,
XP
(比?/p>
p
个指标)
,重新组合成一组较
少个数的互不相关的综合指?/p>
Fm
来代替原来指标。那么综合指标应该如何去?/p>
取,使其既能最大程度的反映原变?/p>
Xp
所代表的信息,又能保证新指标之间保
持相互无关(信息不重叠)
?/p>
?/p>
F1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
一
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
1
11
1
21
2
1
...
p
p
F
a
X
a
X
a
X
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
由数学知识可知,
每一个主成分所提取的信息量?
用其方差来度量,
其方?/p>
Var(F1)
越大,表?/p>
F1
包含的信息越?/p>
。常常希望第
一主成?/p>
F1
所含的信息量最大,
因此在所有的线性组合中选取?/p>
F1
应该?/p>
X1
?/p>
X2
,…,
XP
的所有线性组合中方差最大的,故?/p>
F1
为第一主成分。如果第一?/p>
成分不足以代表原?/p>
p
个指标的信息,再考虑选取第二个主成分指标
F2
,为?/p>
效地反映原信息,
F1
已有的信息就不需要再出现?/p>
F2
中,?/p>
F2
?/p>
F1
要保持独
立、不相关,用数学语言表达就是其协方差
Cov(F1,
F2)=0
,所?/p>
F2
是与
F1
?