圆锥曲线的统一定义
例题解析
【例
1
】以下同个关于圆锥曲线的命题?/p>
①设
A
?/p>
B
为两个定点,
k
为非零常数,
k
PB
PA
?/p>
?/p>
|
|
|
|
,则动点
P
的轨迹为双曲线;
②设定圆
C
上一定点
A
作圆的动点弦
AB
?/p>
O
为坐标原点,?/p>
),
(
2
1
OB
OA
OP
?/p>
?/p>
则动?/p>
P
的轨迹为椭圆?/p>
③方?/p>
0
2
5
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率?/p>
④双曲线
1
35
1
9
25
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
x
y
x
与椭?/p>
有相同的焦点
.
其中真命题的序号?/p>
(写出所有真命题的序号)
【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要?/p>
a,b,c,e
的关系求?/p>
【解?/p>
双曲线的第一定义?/p>
:
平面上的动点
P
到两定点?/p>
A,B
之间的距离的差的绝对值为常数
2a,
?/p>
2
|
|
a
AB
?/p>
,
那么
P
点的轨迹为双曲线
,
故①错,
?/p>
1
(
)
2
OP
OA
OB
?/p>
?/p>
,
?/p>
P
为弦
AB
的中?/p>
,
故②错,
?/p>
2
2
5
2
0
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
的两根为
1
2
,
x
x
?/p>
1
2
1
2
5
,
1
2
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
可知两根互与为倒数
,
且均为正
,
故③
对,
2
2
1
25
9
x
y
?/p>
?/p>
的焦点坐?/p>
(
34,0
?/p>
),
?/p>
2
2
1
35
x
y
?/p>
?/p>
的焦点坐?/p>
(
34,0
?/p>
),
故④正确
.
【点评?/p>
要牢牢掌握椭?/p>
,
双曲线的第一定义
,
同时还要掌握圆锥曲线的统一定义
,
弄清圆锥?/p>
线中
a,b,c,e
的相互关?/p>
.
【例
2
】设
,
2
0
?
?/p>
?/p>
?/p>
曲线
1
sin
cos
1
cos
sin
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
x
y
x
?/p>
?/p>
4
个不同的交点?/p>
(Ⅰ)求
θ
的取值范围;
(Ⅱ)证明这
4
个交点共圆,并求圆半径的取值范围.
【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识,以及逻辑推理?/p>
力和运算能力?/p>
【解?/p>
?/p>
I
)两曲线的交点坐标(
x
?/p>
y
)满足方程组
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
1
sin
cos
,
1
cos
sin
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
x
y
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.
sin
cos
,
cos
sin
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
x