兰州成功私立中学高中奥数辅导资料
(内部资料)
§
12
递推数列
1
?/p>
概念?/p>
①?/p>
递归式:
一个数?/p>
}
{
n
a
中的?/p>
n
?/p>
n
a
与它前面若干?/p>
1
?/p>
n
a
?/p>
2
?/p>
n
a
?/p>
…,
k
n
a
?/p>
?/p>
n
k
?/p>
?/p>
的关系式称为递归式?/p>
②、递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列?/p>
2
、常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等?/p>
3
、思想策略:构造新数列的思想?/p>
4
、常见类型:
类型Ⅰ:
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
为常数)
a
a
a
n
p
n
q
a
n
p
a
n
n
(
)
0
)
(
(
)
(
)
(
1
1
(一阶递归?/p>
其特例为:(
1
?/p>
)
0
(
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
p
q
pa
a
n
n
?/p>
2
?/p>
)
0
(
)
(
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
p
n
q
pa
a
n
n
?/p>
3
?/p>
)
0
(
)
(
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
p
q
a
n
p
a
n
n
解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列?/p>
类型Ⅱ:
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
为常数)
b
a
b
a
a
a
q
p
qa
pa
a
n
n
n
,
(
,
)
0
,
0
(
2
1
1
2
(二阶递归?/p>
解题方法:利用特征方?/p>
q
px
x
?/p>
?/p>
2
,求其根
?/p>
?/p>
?/p>
,构?/p>
n
n
n
B
A
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,代入初始?/p>
求得
B
A
,
?/p>
类型Ⅲ:
)
(
1
n
n
a
f
a
?/p>
?/p>
其中函数
)
(
x
f
为基本初等函数复合而成?/p>
解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型?/p>
例题讲解
1
.已知数?/p>
}
{
n
a
满足以下递归关系
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
4
3
1
1
a
a
a
n
n
,求通项
n
a
?/p>
2
.已知数?/p>
}
{
n
a
满足
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
)
1
2
(
2
1
1
a
n
a
a
n
n
,求通项
n
a
?/p>
3
.已知数?/p>
}
{
n
a
满足
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
)
2
(
2
1
1
a
n
na
a
n
n
,求通项
n
a
?/p>
4
.已知数?/p>
}
{
n
a
满足
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
,
1
2
3
2
1
1
2
a
a
a
a
a
n
n
n
,求通项
n
a
?/p>