3.1
空间向量及其运算
§
3.1.1
空间向量及其加减运算
§
3.1.2
空间向量的数乘运?/p>
1
.空间向量的概念?/p>
?/p>
在空间,我们把具有大小又有方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度?/p>
?/p>
.
?/p>
向量的表示:几何表示?/p>
:
用有向线段表示;字母表示法:用小写字母表示,或者用?/p>
示向量的有向线段的起点和终点字母表示
.
2
.空间向量的加减运算:加法运算:平行四边形法则和三角形法则;减法运算:三角形
法则
.
3
.
共面向量的定义:一般地,平行于同一平面的向量,叫做共面向量
.
4
.
共面向量的判定;
平面向量中,
向量
b
与非零向?/p>
a
共线的充要条件是
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
类比到空
间向量,即有
共面向量定理
如果两个向量
b
a
,
不共线,
那么向量
p
与向?/p>
b
a
,
共面的充要条件是存在?/p>
序实数组
)
,
(
y
x
,使?/p>
b
y
x
p
?/p>
?/p>
?/p>
.
这就是说,向?/p>
p
可以由不共线的两个向?/p>
b
a
,
线性表?/p>
.
5
.
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量
.
6
.
?/p>
b
a
,
为不共线且同在平?/p>
?/p>
内,?/p>
p
?/p>
b
a
,
共面的意义是
p
?/p>
?/p>
内或
?/p>
//
p
.
§
3.1.3
空间向量的数量积运算
1
.
夹角的定义:
b
a
,
是空间两个非零向量,过空间任意一?/p>
O
,作
b
OB
a
OA
?/p>
?/p>
,
,则
AO
B
?/p>
叫做向量
a
与向?/p>
b
的夹角,记作
?/p>
?/p>
b
a
,
.
规定?/p>
?/p>
?/p>
b
a
,
0
.
2
.
数量积:
已知两个非零向量
b
a
,
是空间两个非零向量,
我们把数?/p>
?/p>
?/p>
b
a
b
a
,
cos
|
||
|
叫作?/p>
?/p>
b
a
,
的数量积,记?/p>
b
a
?/p>
,即
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
b
a
b
a
,
cos
|
||
|
.
特别的,
2
,
cos
a
a
a
a
a
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.
3
.
空间向量的数量积的运算律?/p>
)
(
)
(
b
a
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
a
b
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
(交换律?/p>
?
c
a
b
a
c
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
(分配律?/p>
.
4
.
如果
0
,
?/p>
?/p>
b
a
,那?/p>
a
?/p>
b
同向;如?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
b
a
,
,那?/p>
a
?/p>
b
反向;如?/p>
0
90
,
?/p>
?/p>
b
a
?