高考大题标准练
(
?/p>
)
满分
75
分,实战模拟?/p>
60
分钟拿下高考客观题满分?/p>
姓名?/p>
________
班级?
________
1
?/p>
(2015·
福建?/p>
)
已知函数
f
(
x
)
?/p>
10
3sin
x
2
cos
x
2
?/p>
10cos
2
x
2
.
(1)
求函?/p>
f
(
x
)
的最小正周期?/p>
(2)
将函?/p>
f
(
x
)
的图象向右平?/p>
π
6
个单位长度,
再向下平?/p>
a
(
a
?/p>
0)
个单位长度后得到函数
g
(
x
)
的图象,且函?/p>
g
(
x
)
的最大值为
2.
①求函数
g
(
x
)
的解析式?/p>
②证明:存在无穷多个互不相同的正整数
x
0
,使?/p>
g
(
x
0
)
?/p>
0.
解:
因为
f
(
x
)
?/p>
10
3sin
x
2
cos
x
2
?/p>
10cos
2
x
2
?/p>
5
3sin
x
?/p>
5cos
x
?/p>
5
?/p>
10sin
?/p>
?/p>
?
?/p>
x
?/p>
π
6
?/p>
5
?/p>
所以函?/p>
f
(
x
)
的最小正周期
T
?/p>
2π.
(2)
①将
f
(
x
)
的图象向右平?/p>
π
6
个单位长度后得到
y
?/p>
10sin
x
?/p>
5
的图象,再向下平?/p>
a
(
a
?/p>
0)
个单位长度后得到
g
(
x
)
?/p>
10sin
x
?/p>
5
?/p>
a
的图象.
已知函数
g
(
x
)
的最大值为
2
,所?/p>
10
?/p>
5
?/p>
a
?/p>
2
,解?/p>
a
?/p>
13.
所?/p>
g
(
x
)
?/p>
10sin
x
?/p>
8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数
x
0
?/p>
使得
g
(
x
0
)
?/p>
0
?/p>
就是要证明存在无穷多个互不相同的正整?/p>
x
0
?/p>
使得
10sin
x
0
?/p>
8
?/p>
0
?/p>
?/p>
sin
x
0
?/p>
4
5
.
?/p>
4
5
?/p>
3
2
知,存在
0
?/p>
α
0
?/p>
π
3
,使?/p>
sin
α
0
?/p>
4
5
.
由正弦函数的性质可知,当
x
?/p>
(
α
0
?/p>
π
?/p>
α
0
)
时,均有
sin
x
?/p>
4
5
.
因为
y
?/p>
sin
x
的最小正周期?/p>
2π
?/p>
所以当
x
?/p>
(2
k
π
?/p>
α
0,
2
k
π
?/p>
π
?/p>
α
0
)(
k
?/p>
Z
)
时,均有
sin
x
?/p>
4
5
.
因为对任意的整数
k
?/p>
(2
k
π
?/p>
π
?/p>
α
0
)
?/p>
(2
k
π
?/p>
α
0
)
?/p>
π
?/p>
2
α
0
?/p>
π
3
?/p>
1
?/p>
所以对任意的正整数
k
,都存在正整?/p>
x
k
?/p>
(2
k
π
?/p>
α
0,
2
k
π
?/p>
π
?/p>
α
0
)
?/p>
使得
sin
x
k
?/p>
4
5
.
亦即,存在无穷多个互不相同的正整?/p>
x
0
,使?/p>
g
(
x
0
)
?/p>
0.
2
.已?/p>
{
a
n
}
是递增的等差数列,
a
2
?/p>
a
4
是方?/p>
x
2
?/p>
5
x
?/p>
6
?/p>
0
的根?/p>
(1)
?/p>
{
a
n
}
的通项公式?/p>
(2)
求数?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
a
n
2
n
的前
n
项和?/p>
解:
(1)
方程
x
2
?/p>
5
x
?/p>
6
?/p>
0
的两根为
2,3
,由题意?/p>
a
2
?/p>
2
?/p>
a
4
?/p>
3.
设数?/p>
{
a
n
}
的公差为
d
,则
a
4
?/p>
a
2
?/p>
2
d
?/p>
?/p>
d
?/p>
1
2
,从?/p>
a
1
?/p>
3
2
.
所?/p>
{
a
n
}
的通项公式?/p>
a
n
?/p>
1
2
n
?/p>
1.
(2)
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
a
n
2
n
的前
n
项和?/p>
S
n
,由
(1)
?/p>
a
n
2
n
?/p>
n
?/p>
2
2
n
?/p>
1
,则