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对称性在积分计算中的应用
引言
积分在数学分析中是相当重要的一项内容,
而在计算积分的过程中?/p>
我们?/p>
常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型
.
那么,如果我们在解题
中发掘或注意到问题的对称性,
并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去,
往
往可以简化计算过程,
达到事倍功半的效果?/p>
我们甚至可以不用计算就可以直?/p>
判断出其结果
.
在积分计算中利用对称性来解题这种方法,是一种探索性的发现
方法,它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功?/p>
.
因此,掌握和充分?/p>
用对称性求积分这一方法?/p>
对于活跃和开拓我们学生的创造性思维?/p>
提高判断?/p>
题能力,探讨解题方法是十分有益的
.
下面从定积分、积分、线面积分三方面?/p>
介绍一下对称性在积分计算中的应用
.
一、相关的定义
设平面区域为
D
,
若点
)
,
(
y
x
)
,
2
(
y
x
a
D
?/p>
?/p>
?/p>
,
?/p>
D
关于直线
a
x
?/p>
对称?/p>
称点
)
,
(
y
x
?/p>
)
,
2
(
y
x
a
?/p>
是关?/p>
a
x
?/p>
的对称点
.
若点
)
,
(
y
x
?/p>
D
?/p>
)
2
,
(
y
b
x
?/p>
)
,
(
y
x
D
?/p>
?/p>
?/p>
D
关于直线
b
y
?/p>
对称,称?/p>
)
,
(
y
x
?/p>
)
2
,
(
y
b
x
?/p>
是关?/p>
b
y
?/p>
的对称(显然?/p>
0
?/p>
a
,
0
?/p>
b
?/p>
D
关于
y
,
x
轴对称)
?/p>
二、对称性在定积分中的应?/p>
(一?/p>
定积分的概念
1.
概念
设函?/p>
)
(
x
f
?/p>
]
,
[
b
a
上有界,
(1)
?/p>
]
,
[
b
a
内插入若干个分点
,
......
2
1
0
b
x
x
x
x
a
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
把区?/p>
[
,
]
a
b
分成
n
个小区间
0
1
1
2
1
[
,
],[
,
],......[
,
],
n
n
x
x
x
x
x
x
?/p>
各个小区间长度依次为
1
1
0
2
2
1
,
,
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
......
.
n
n
n
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(2)
在每个小区间上任取一?/p>
1
(
),
(
)
i
i
i
i
i
x
x
f
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
作函?/p>
与小区间长度
i
x
?/p>
的乘
?/p>
(
)
(
1
,2,......,
),
i
i
f
x
i
n
?/p>
?/p>
?/p>
,
并作出和
1
(
)
.
n
i
i
i
S
f
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>