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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径
,
三棱锥与长方体的外接球相同)
c
a
b
?/p>
1
C
P
A
B
a
b
c
?/p>
2
P
C
B
A
a
b
c
?/p>
3
C
B
P
A
a
b
c
?/p>
4
P
C
O
2
B
A
方法:找三条两两垂直的线段,直接用公?/p>
2
2
2
2
)
2
(
c
b
a
R
?/p>
?/p>
?/p>
,即
2
2
2
2
c
b
a
R
?/p>
?/p>
?/p>
,求?/p>
R
?/p>
1
?/p>
1
)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高?/p>
4
,体积为
16
,则这个球的表面积是?/p>
?/p>
A
?/p>
?/p>
16
B
?/p>
?/p>
20
C
?/p>
?/p>
24
D
?/p>
?/p>
32
?/p>
2
)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均?/p>
3
,则其外接球的表面积?/p>
?/p>
3
)在正三棱锥
S
ABC
?/p>
中,
M
N
?/p>
分别是棱
SC
BC
?/p>
的中点,?/p>
MN
AM
?/p>
,
若侧?/p>
2
3
SA
?/p>
,
?/p>
正三棱锥
ABC
S
?/p>
外接球的表面积是
?/p>
解:引理?/p>
正三棱锥的对棱互垂直
,证明如下:
如图?/p>
3
?/p>
-1
,取
BC
AB
,
的中?/p>
E
D
,
,连?/p>
CD
AE
,
?/p>
CD
AE
,
交于
H
,连
?/p>
SH
?/p>
?/p>
H
是底面正三角?/p>
ABC
的中心,
?/p>
?/p>
SH
平面
ABC
?/p>
?/p>
AB
SH
?/p>
?/p>
?/p>
BC
AC
?/p>
?/p>
BD
AD
?/p>
?/p>
?/p>
AB
CD
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
AB
平面
SCD
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?/p>
SC
AB
?/p>
?/p>
同理?/p>
SA
BC
?/p>
?/p>
SB
AC
?/p>
,即正三棱锥的对棱互垂直?/p>
本题图如图(
3
?/p>
-2
?/p>
?/p>
MN
AM
?/p>
?/p>
MN
SB
//
?/p>
?/p>
SB
AM
?/p>
?/p>
?/p>
SB
AC
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
SB
平面
SAC
?/p>
?/p>
SA
SB
?/p>
?/p>
SC
SB
?/p>
?/p>
?/p>
SA
SB
?/p>
?/p>
SA
BC
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
SA
?/p>
?/p>
SBC
?/p>
?/p>
SC
SA
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
ABC
S
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
36
)
3
2
(
)
3
2
(
)
3
2
(
)
2
(
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
R
,即
36
4
2
?/p>
R
?/p>
?/p>
外接球的表面积是
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36
(3)
?/p>
-1
H
E
D
B
A
C
S
(3)
?/p>
-2
M
N
A
B
C
S