1.
了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容?/p>
2.
掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用?/p>
一、两量重叠问?/p>
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地?/p>
两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数?/p>
用式子可表示成:
A
B
A
B
A
B
?/p>
?/p>
?/p>
U
I
(
其中符号
?/p>
U
?/p>
读作
?/p>
?/p>
?/p>
,相当于中文
?/p>
?/p>
?/p>
或?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
的意思;符号
?/p>
I
?/p>
读作
?/p>
?/p>
?/p>
,相当于中文
?/p>
?/p>
?/p>
的意思.
)
则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下
:
A
表示小圆
部分?/p>
B
表示大圆部分?/p>
C
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
A
B
I
?/p>
即阴影面积.图示如下
:
A
表示小圆
部分?/p>
B
表示大圆部分?/p>
C
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
A
B
I
?/p>
即阴影面积.
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集?/p>
A
B
?/p>
的并?/p>
A
B
U
的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:分别计算集合
A
B
?/p>
的元素个数,然后加起来,即先?/p>
A
B
?/p>
(
意思是?/p>
A
B
?/p>
的一切元素都
?/p>
包含
?/p>
?
来,加在一?/p>
)
?/p>
第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减?/p>
C
A
B
?/p>
I
(
意思是
?/p>
排除
?/p>
了重复计算的元素个数
)
?/p>
二、三量重叠问?/p>
A
类?/p>
B
类与
C
类元素个数的总和
A
?/p>
类元素的个数
B
?/p>
类元素个?/p>
C
?/p>
类元素个?/p>
?/p>
既是
A
类又?/p>
B
?/p>
的元素个?/p>
?/p>
既是
B
类又?/p>
C
类的元素个数
?/p>
既是
A
类又?/p>
C
类的元素个数
?/p>
同时?/p>
A
类?/p>
B
类?/p>
C
类的?/p>
素个数.用符号表示为?/p>
A
B
C
A
B
C
A
B
B
C
A
C
A
B
C
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
U
U
I
I
I
I
I
.图示如下:
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图
(
韦恩?/p>
)
来帮助分析思考.
教学目标
知识要点
7-7-2.
容斥原理之重叠问题(二)
1
?/p>
先包含—?/p>
A
B
?/p>
重叠部分
A
B
I
计算?/p>
2
次,多加?/p>
1
次;
2
.再排除—?/p>
A
B
A
B
?/p>
?/p>
I
把多加了
1
次的重叠部分
A
B
I
减去?/p>
图中小圆表示
A
的元素的个数,中圆表?/p>
B
的元素的个数?/p>
大圆表示
C
的元素的个数?/p>
1
.先包含?/p>
A
B
C
?/p>
?/p>
重叠部分
A
B
I
?/p>
B
C
I
?/p>
C
A
I
重叠?/p>
2
次,
多加?/p>
1
次.
2
.再排除?/p>
A
B
C
A
B
B
C
A
C
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
I
I
I
重叠部分
A
B
C
I
I
重叠?/p>
3
次,但是在进?/p>
A
B
C
?/p>
?/p>
?/p>
A
B
B
C
A
C
?/p>
?/p>
I
I
I
计算时都被减掉了?/p>
3
.再包含?/p>
A
B
C
A
B
B
C
A
C
A
B
C
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
I
I
I
I
I
?/p>