第七?/p>
度量空间和赋范线性空?/p>
复习题:
1.
?/p>
(
,
)
X
d
为一度量空间,令
0
0
0
0
(
,
)
{
|
,
(
,
)
},
(
,
)
{
|
,
(
,
)
},
U
x
x
x
X
d
x
x
S
x
x
x
X
d
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
(
,
)
U
x
?/p>
的闭包是否等?/p>
0
(
,
)
S
x
?/p>
?/p>
2.
?/p>
[
,
]
C
a
b
?/p>
是区?/p>
[
,
]
a
b
上无限次可微函数的全体,定义
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
|
(
)
(
)
|
(
,
)
m
ax
.
2
1
|
(
)
(
)
|
r
r
r
r
r
a
t
b
r
f
t
g
t
d
f
g
f
t
g
t
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?
证明
[
,
]
C
a
b
?/p>
?/p>
(
,
)
d
f
g
成度量空?/p>
.
3.
?/p>
B
是度量空?/p>
X
中闭集,证明必有一列开?/p>
1
2
,
,
,
,
n
O
O
O
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
B
,而且
1
.
n
n
O
B
?
?/p>
?/p>
?/p>
4.
?/p>
(
,
)
d
x
y
为空?/p>
X
上的距离,证?/p>
(
,
)
(
,
)
1
(
,
)
d
x
y
d
x
y
d
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
也是
X
上的距离
.
5.
证明点列
{
}
n
f
按题
2
中距离收敛于
[
,
]
f
C
a
b
?
?/p>
的充要条件为
n
f
?
各阶导数?/p>
[
,
]
a
b
上一致收敛于
f
的各阶导?/p>
.
6.
?/p>
[
,
]
B
a
b
?/p>
,证明度量空?/p>
[
,
]
C
a
b
中的?/p>
{
|
t
,
(t)=0}
f
B
f
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
[
,
]
C
a
b
中的闭集,而集
{
|
|
(
)
|
}
(
A
f
t
B
f
t
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
为开集的充要条件?/p>
B
为闭?/p>
.