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5
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导数的综合应用与热点问题
高考定?/p>
在高考压轴题中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以含指数函数?/p>
对数函数为载体考查函数的零?/p>
(
方程的根
)
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比较大小?/p>
不等式证明?/p>
不等式恒成立与能?/p>
立问?/p>
.
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1.(2018·全国Ⅱ卷
)
已知函数
f
(
x
)
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e
x
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2
.
(1)
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a
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1
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x
?
时,
f
(
x
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(2)
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f
(
x
)
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,+?只有一个零点,?/p>
a
.
(1)
证明
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a
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1
时,
f
(
x
)
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e
x
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x
2
,则
f
?
x
)
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e
x
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2
x
.
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g
(
x
)
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f
?
x
)
,则
g
?
x
)
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e
x
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2.
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g
?
x
)
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0
,解?/p>
x
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x
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(0
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ln 2)
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g
?
x
)<0
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x
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(ln 2
,+?时,
g
?
x
)>0.
∴当
x
?
时,
g
(
x
)?/p>
g
(ln 2)
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2
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?/p>
f
(
x
)
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[0
,+?上单调递增,∴
f
(
x
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f
(0)
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1.
(2)
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f
(
x
)
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(0
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+∞)上只有一个零点,
即方?/p>
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x
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ax
2
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0
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(0
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+∞)上只有一个解?/p>
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e
x
x
2
,令
φ
(
x
)
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e
x
x
2
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x
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(0
,+??/p>
φ
?
x
)
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e
x
?/p>
x
?/p>
2
?
x
3
,令
φ
?
x
)
?/p>
0
,解?/p>
x
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2.
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x
?/p>
(0
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2)
时,
φ
?
x
)<0
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x
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,+?时,
φ
?
x
)>0.
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φ
(
x
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φ
(2)
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e
2
4
.
?/p>
a
?/p>
e
2
4
.
2.(2017·全国Ⅱ卷
)
已知函数
f
(
x
)
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ax
2
?/p>
ax
?/p>
x
ln
x
,且
f
(
x
)?.
(1)
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a
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(2)
证明?/p>
f
(
x
)
存在唯一的极大值点
x
0
,且
e
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2
<
f
(
x
0
)<2
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2
.
(1)
?/p>
f
(
x
)
的定义域?/p>
(0
,+??/p>
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g
(
x
)
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ax
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a
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ln
x
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