第三?/p>
平面向量的数量积与平面向量应用举?/p>
[
考纲传真
]
1.
理解平面向量数量积的含义及其物理意义
.2.
了解平面向量的数量积?/p>
向量投影的关?/p>
.3.
掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运?/p>
.4.
能运用数?/p>
积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关?/p>
.5.
会用向量方法解决某些
简单的平面几何问题
.6.
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1
.向量的夹角
已知两个非零向量
a
?/p>
b
,作
OA
?/p>
?/p>
a
?/p>
OB
?
?/p>
b
,则?/p>
AOB
叫做向量
a
?/p>
b
的夹角,向量夹角
的范围是[0°?80°],其中当
a
?/p>
b
的夹角是
90°时,
a
?/p>
b
垂直,记?/p>
a⊥b
,当
a
?/p>
b
的夹角为
0°时,
a∥b
,且
a
?/p>
b
同向,当
a
?/p>
b
的夹角为
180°时,
a∥b
,且
a
?/p>
b
反向?/p>
2
.平面向量的数量?/p>
定义
已知两个非零向量
a
?/p>
b
,它们的夹角?/p>
θ
,则数量
|
a||b
|·cos
θ
叫做
a
?/p>
b
的数量积
(
或内?/p>
)
,记?/p>
a·
b
.
规定:零向量与任一向量的数量积?/p>
0
投影
|
a
|cos
θ
叫做向量
a
?/p>
b
方向上的投影?/p>
|
b
|cos
θ
叫做向量
b
?/p>
a
方向上的投影
几何意义
数量?/p>
a·b
等于
a
的长?/p>
|
a
|
?/p>
b
?/p>
a
的方向上的投?/p>
|
b
|cos
θ
的乘?/p>
3.
平面向量数量积的运算?/p>
(1)
交换律:
a
·
b
?/p>
b
·
a
?/p>
(2)
数乘结合律:
(
λ
a
)·
b
?/p>
λ
(
a
·
b
)
?/p>
a
·(
λ
b
)
?/p>
(3)
分配律:
a
·(
b
?/p>
c
)
?/p>
a
·
b
?/p>
a
·
c
.
4
.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向?/p>
a
?/p>
(
x
1
?/p>
y
1
)
?/p>
b
?/p>
(
x
2
?/p>
y
2
)
?/p>
θ
=?/p>
a
?/p>
b
?/p>
?/p>
结论
几何表示
坐标表示
?/p>
|
a
|
?/p>
a
·
a
|
a
|
?/p>
x
2
1
?/p>
y
2
1
数量?/p>
a
·
b
?/p>
|
a
||
b
|cos
θ
a
·
b
?/p>
x
1
x
2
?/p>
y
1
y
2
夹角
cos
θ
?/p>
a
·
b
|
a
||
b
|
cos
θ
?
x
1
x
2
?/p>
y
1
y
2
x
2
1
?/p>
y
2
1
·
x
2
2
?/p>
y
2
2
a
?/p>
b
a
·
b
?/p>
0
x
1
x
2
?/p>
y
1
y
2
?/p>
0
|
a
·
b
|
?/p>
|
a
||
b
|
的关?/p>
|
a
·
b
|≤|
a
||
b
|
|
x
1
x
2
?/p>
y
1
y
2
|