1
典例
9
(15
?/p>
)
设函?/p>
f
(
x
)
?/p>
e
mx
?/p>
x
2
?/p>
mx
.
(1)
证明?/p>
f
(
x
)
?/p>
(
-∞?/p>
0)
上单调递减,在
(0
,+?上单调递增?/p>
(2)
若对于任?/p>
x
1
?/p>
x
2
∈[?/p>
1,1]
,都?/p>
|
f
(
x
1
)
?/p>
f
(
x
2
)|≤e?/p>
1
,求
m
的取值范围.
审题路线?/p>
(1)
求导
f
?/p>
?/p>
x
?/p>
?/p>
m
?/p>
e
mx
?/p>
1
?/p>
?/p>
2
x
?/p>
?/p>
讨论
m
确定
f
?/p>
?/p>
x
?/p>
的符?/p>
?/p>
?/p>
证明结论
(2)
条件转化?/p>
?/p>
|
f
?/p>
x
1
?/p>
?/p>
f
?/p>
x
2
?/p>
|
?/p>
max
≤e?/p>
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
结合
?/p>
1
?/p>
?/p>
f
?/p>
x
?/p>
min
?/p>
f
?/p>
0
?
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
f
?/p>
1
?/p>
?/p>
f
?/p>
0
?/p>
≤e?/p>
1
?
f
?/p>
?/p>
1
?/p>
?/p>
f
?/p>
0
?/p>
≤e?/p>
1
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
e
m
?/p>
m
≤e?/p>
1
?/p>
e
?/p>
m
?/p>
m
≤e?/p>
1
?/p>
?/p>
构造函?/p>
g
?/p>
t
?/p>
?/p>
e
t
?/p>
t
?/p>
e
?/p>
1
?/p>
?/p>
研究
g
?/p>
t
?/p>
的单调?/p>
?/p>
?
寻求
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
g
?/p>
m
?/p>
??/p>
g
?/p>
?/p>
m
?/p>
?
的条?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
m
讨论得适合条件的范?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
答·分
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(1)
证明
f
?
x
)
?/p>
m
(e
mx
?/p>
1)
?/p>
2
x
.1
?/p>
?/p>
m
?,则?/p>
x
?-∞?/p>
0)
时,
e
mx
???/p>
f
?
x
)<0
?/p>
?/p>
x
?0,+?时,
e
mx
???/p>
f
?
x
)>0.
?/p>
m
<0
,则?/p>
x
?-∞?/p>
0)
时,
e
mx
?/p>
1>0
?/p>
f
?
x
)<0
?/p>
?/p>
x
?0,+?时,
e
mx
?/p>
1<0
?/p>
f
?
x
)>0.4
?/p>
所?/p>
f
(
x
)
?/p>
(
-∞?/p>
0)
上单调递减,在
(0
,+?上单调递增
.6
?/p>
(2)
?/p>
?/p>
(1)
知,对任意的
m
?/p>
f
(
x
)
?/p>
[
?/p>
1,0]
上单调递减,在
[0,1]
上单调递增?/p>
?/p>
f
(
x
)
?/p>
x
?/p>
0
处取得最小值.
所以对于任?/p>
x
1
?/p>
x
2
∈[?/p>
1,1]
?/p>
|
f
(
x
1
)
?/p>
f
(
x
2
)|≤e?/p>
1
的充?/p>
条件?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
f
?/p>
1
?/p>
?/p>
f
?/p>
0
?/p>
≤e?/p>
1
?
f
?/p>
?/p>
1
?/p>
?/p>
f
?/p>
0
?/p>
≤e?/p>
1
?/p>
8
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
e
m
?/p>
m
≤e?/p>
1
?/p>
e
?/p>
m
?/p>
m
≤e?/p>
1.
?/p>
设函?/p>
g
(
t
)
?/p>
e
t
?/p>
t
?/p>
e
?/p>
1
,则
g
?
t
)
?/p>
e
t
?/p>
1.10
?/p>
?/p>
t
<0
时,
g
?
t
)<0
;当
t
>0
时,
g
?
t
)>0.
?/p>
g
(
t
)
?/p>
(
-∞?/p>
0)
上单调递减,在
(0
,+?上单调递增?/p>
第一?/p>
求导数:
一般先确定函数
的定义域,再?/p>
f
?
x
)
?/p>
第二?/p>
定区间:
根据
f
?
x
)
的符
号确定函数的单调性.
第三?/p>
寻条件:
一般将恒成立问
题转化为函数的最值问
题.
第四?/p>
写步骤:
通过函数单调?
探求函数最值,
对于最?/p>
可能在两点取到的恒成
立问题,
可转化为不等?/p>
组恒成立
.
第五?/p>
再反思:
查看是否注意?/p>
义域、区间的写法、最?