2014
年浙江大学研究生入学考试高等代数试题
1.
0
0
n
n
E
A
E
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
2
(
)
n
L
B
M
R
AB
BA
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
证明
L
?/p>
2
(
)
n
M
R
的子空间并计算其?/p>
数?/p>
2.
0
0
n
n
E
A
E
?/p>
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
?
,请?/p>
A
是否可对角化并给出理由。若
A
可对角化?/p>
C
,给出可逆矩?/p>
P
,使?/p>
1
P
AP
C
?/p>
?/p>
.
3.
方阵
A
的特征多项式?/p>
3
2
(
)
(
2)
(
3)
f
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,请给出
A
所有可能的
Jordan
标准型?/p>
4.
1
?/p>
?/p>
2
?/p>
?/p>
3
?/p>
?/p>
0
AX
?/p>
的基础解系?/p>
A
?/p>
3
?/p>
5
列实矩阵。求证:存在
5
R
的一组基?
其包?/p>
1
2
3
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
3
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
3
2
4
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
5
?/p>
X
?/p>
Y
分别?/p>
m
n
?/p>
?/p>
n
m
?/p>
矩阵?/p>
n
YX
E
?/p>
?/p>
m
A
E
XY
?/p>
?/p>
,证?/p>
A
相似于对角矩阵?/p>
6.
A
?/p>
n
阶线性空?/p>
V
的线性变换,
1
?/p>
?/p>
2
?/p>
,…,
m
?/p>
?/p>
A
的不同特征值,
i
V
?/p>
为其特征
子空间。证明:对任?/p>
V
的子空间
W
,有
1
(
)
(
)
m
W
W
V
W
V
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.
7.
矩阵
A
?/p>
B
均为
m
n
?/p>
矩阵?/p>
0
AX
?/p>
?/p>
0
BX
?/p>
同解?/p>
求证
A
?/p>
B
等价?/p>
?/p>
A
?/p>
B
等价?/p>
是否?/p>
0
AX
?/p>
?/p>
0
BX
?/p>
同解?证明或举反例否定?/p>
8.
证明?/p>
A
正定的充分必要条件是存在方阵
i
B
?/p>
1,2,
,
i
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
i
B
中至少有一个非退化,
使得
1
n
T
i
i
i
A
B
B
?/p>
?
?/p>
?/p>
9.
定义
?/p>
?/p>
[0,1]
?/p>
n
阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射,使得
(0)
?/p>
为第一类正交矩
阵,
(1)
?/p>
为第二类正交矩阵。证明:存在
0
(0,1)
T
?/p>
,使?/p>
0
(
)
T
?/p>
退化?/p>
10.
?/p>
g
?/p>
h
为复数域
C
?/p>
n
维线性空?/p>
V
的线性变换,
gh
hg
?/p>
。求?/p>
g
?/p>
h
有公共的?/p>
征向量。若不是在复数域
C
上而是在实数域
R
上,则结论是否成立?若成立,给出理由?/p>
不成立举出反例?/p>