多元线性回归模?/p>
一、多元线性回归模型的一般形?/p>
设随机变?/p>
y
与一般变?/p>
p
x
x
x
,
,
,
2
1
?/p>
的线性回归模型为?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
p
p
x
x
x
y
?/p>
2
2
1
1
0
写成矩阵形式为:
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
X
y
其中?/p>
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
y
y
y
y
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2
1
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?/p>
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np
n
n
p
p
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
2
1
2
22
21
1
12
11
1
1
1
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
p
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
0
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?
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
二、多元线性回归模型的基本假定
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
p
x
x
x
,
,
,
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
n
p
X
r
a
n
k
?/p>
?/p>
?/p>
1
)
(
。这里的
n
p
X
rank
?/p>
?/p>
?/p>
1
)
(
表明设计矩阵
X
中自变量列之?
不相关,
样本容量的个数应大于解释变量的个数,
X
是一满秩矩阵
?/p>
2
?/p>
随机误差项具?/p>
0
均值和等方差,
即:
?
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
)
,
,
2
,
1
,
(
,
,
0
,
)
,
cov(
,
,
2
,
1
,
0
)
(
2
n
j
i
j
i
j
i
n
i
E
j
i
i
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
)
(
?/p>
i
E
?/p>
,即假设观测值没有系统误差,随机误差
i
?/p>
的平均值为
0
,随机误?/p>
i
?/p>
的协方差?/p>
0
表明随机误差项在不同的样本点之间是不相关?/p>
(在正态假定下?
为独立)
,不存在序列相关,并且具有相同的精度?/p>
3
?/p>
正态分布的假定条件为:
?/p>
?
?/p>
?/p>
相互独立
n
i
n
i
N
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
,
,
,
2
,
1
),
,
0
(
~
2
1
2
?/p>
矩阵表示?/p>
)
,
0
(
~
2
n
I
N
?/p>
?/p>
,
由该假定和多元正态分布的性质可知?/p>
随机变量
y
服从
n
维正态分布,
回归模型
的期望向量为?/p>
?/p>
X
y
E
?/p>
)
(
?/p>
n
I
y
2
)
var(
?/p>
?/p>
因此?/p>
)
,
(
~
2
n
I
X
N
y
?/p>
?/p>
三、多元线性回归方程的解释
对于一般情况含?/p>
p
个自变量的回归方?/p>
p
p
x
x
x
y
E
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
1
1
0
)
(
?/p>
解释?/p>
每个回归系数
i
?/p>
表示在回归方程中其他自变量保持不变的情况下,自变
?/p>
i
x
每增加一个单位时因变?/p>
y
的平均增加程度?/p>
因此通常把多元线性回归的?/p>
归系数称为偏回归系数?/p>
下面看个例子?/p>
考虑国内生产总?/p>
GDP
和三次产业增?/p>
值的关系?/p>
这个问题?/p>
GDP=
3
2
1
x
x
x
?/p>
?/p>
是确定性的函数关系?/p>
可以看作误差项为