题型专题
(
十七
)
圆锥曲线的方程与性质


[
师说考点
]
圆锥曲线的定?/p>
(1)
椭圆?/p>
|
PF
1
|
?/p>
|
PF
2
|
?/p>
2
a
(2
a
>|
F
1
F
2
|)
?/p>
(2)
双曲线:
||
PF
1
|
?/p>
|
PF
2
||
?/p>
2
a
(2
a
<|
F
1
F
2
|)
?/p>
(3)
抛物线:
|
PF
|
?/p>
|
PM
|
,点
F
不在直线
l
上,
PM
?/p>
l
?/p>
M
.
[
典例
]
(1)(2016·天津高?/p>
)
已知双曲?/p>
x
2
a
2
?/p>
y
2
b
2
?/p>
1(
a
?/p>
0

?/p>
b
?/p>
0)
的焦距为
2
5
,且双曲
线的一条渐近线与直?/p>
2
x
?/p>
y
?/p>
0
垂直,则双曲线的方程?/p>
(
)
A.
x
2
4
?/p>
y
2
?/p>
1 B
?/p>
x
2
?/p>
y
2
4
?/p>
1
C.
3
x
2
20
?/p>
3
y
2
5
?/p>
1 D.
3
x
2
5
?/p>
3
y
2
20
?/p>
1
[
解析
]
?/p>
A
由焦距为
2
5
?/p>
c
?/p>
5.
因为双曲线的一条渐近线与直?/p>
2
x
?/p>
y
?/p>
0
垂直?
所?/p>
b
a
?/p>
1
2
.
?/p>
c
2
?/p>
a
2
?/p>
b
2
,解?/p>
a
?/p>
2
?/p>
b
?/p>
1
,所以双曲线的方程为
x
2
4
?/p>
y
2
?/p>
1.
(2)(2016·沈阳模拟
)
已知抛物?/p>
x
2
?/p>
4
y
的焦点为
F
,准线为
l
?/p>
P
为抛物线上一点,?/p>
P
?/p>
PA
?/p>
l
于点
A
,当?/p>
AFO
?/p>
30
°
(
O
为坐标原?/p>
)
时,
|
PF
|
?/p>
________.
[
解析
]
法一?/p>
?/p>
l
?/p>
y
轴的交点?/p>
B
?/p>
?/p>
Rt
?/p>
ABF
中,
?/p>
AFB
?/p>
30
°?/p>
|
BF
|
?/p>
2
?/p>
所?/p>
|
AB
|
?
2
3
3
.
?/p>
P
(
x
0
?/p>
y
0
)
,则
x
0
=?/p>
2
3
3
,代?/p>
x
2
?/p>
4
y
中,?/p>
y
0
?/p>
1
3
,?/p>
|
PF
|
?/p>
|
PA
|
?/p>
y
0
?/p>
1
?/p>
4
3
.
法二:如图所示,?/p>
AFO
?/p>
30
°,∴?/p>
PAF
?/p>
30
°?/p>
?/p>
|
PA
|
?/p>
|
PF
|
,∴?/p>
APF
为顶角∠
APF
?/p>
120
°的等腰三角形?/p>
?/p>
|
AF
|
?/p>
2
cos 30
°
?/p>
4
3
3
,∴
|
PF
|
?/p>
|
AF
|
3
?/p>
4
3
.
[
答案
]
4
3
[
类题通法
]
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)
定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.